开区间和闭区间

第38卷第6期高师理科学刊Vol.38No.6

2018年6月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityJun.2018

文章编号：1007-9831（2018）06-0007-04

闭区间连续函数点的存在性在开区间上的探讨

杨磊

（大连财经学院基础教育学院，辽宁大连116000）

摘要：在闭区间连续函数的介值定理与积分中值定理的结论中，点的存在性在闭区间上成立．通

过实例给出闭区间连续函数点的存在性在开区间上成立的证明，并加强了积分中值定理的结论，

使其应用更加广泛.

关键词：连续；介值定理；积分中值定理；开区间

中图分类号：O172.1文献标识码：Adoi：10.3969/.1007-9831.2018.06.002

Discussiononthepointxistenceofclodintervalcontinuousfunction

ontheopeninterval

YANGLei

（DepartmentofFoundation，DalianUniversityofFinanceandEconomics，Dalian116000，China）

Abstract：Intheconclusionoftheintermediatevaluetheoremoftheclodintervalcontinuousfunctionandthe

meanvaluetheoremofintegration，theexistenceofapointistrueonaclodinterval．Theexistenceofclodinterval

continuousfunctionpointsontheopenintervalisprovedbyanexample，theconclusionofthemeanvaluetheoremof

integrationisstrengthened，makeitmorewidelyud．

Keywords：continuity；intermediatevaluetheorem；integralmeanvaluetheorem；openinterval

闭区间连续函数的介值定理和积分中值定理是微积分的基本定理，在函数的研究中占有重要的地位.

定理结论中，点的存在性都是在闭区间上取到．

定理1（介值定理）[1]若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，M与

m

分别是()fx在区间[,]ab上的最

大值和最小值，

C

是M与

m

之间任意数，则在区间[,]ab上至少存在一点x，使得()fCx=.

定理2（积分中值定理）[2-3]若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在区间[,]ab上至少存在一点x，

使得()()d()b

a

fxxfbax=-ò．

在定理1~2的结论中，闭区间连续函数点的存在性都是在闭区间上，若证明点的存在性在开区间内，

最先想到的是零点定理和微分中值定理．但在一些证明题目中，点的存在性问题还需要借助介值性定理和

积分中值定理来解决，这时在开区间内处理点的存在性便会增加不少难度．

例1

若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，

12n

axxxb<<<<

(3)n³，则在开区间()

1

,

n

xx内至少

有一点x，使得()

()()()

12n

fxfxfx

f

n

x

+++

=

L

．

收稿日期：2018-03-23

基金项目：2016年辽宁省教育厅普通高等教育本科教学改革研究项目——应用型高校公共基础课程实践教学内容、方法和手段的研究与实践；

大连财经学院科研基金项目（2016dlcjyb05）——应用型本科院校公共基础数学课程改革与创新研究

作者简介：杨磊（1979-），女，黑龙江哈尔滨人，副教授，硕士，从事计算数学研究．E-mail：dfxyjcbyl@

8高师理科学刊第38卷

分析例1与教材[4]在闭区间上连续函数的性质章节中的例题类似．但教材上要证明的结论是“在闭

区间[]1

,

n

xx上至少存在一点x”，而本题要证明的结论是“在开区间()

1

,

n

xx内至少有一点x”．一个闭区

间，一个开区间意义就完全不同．需要处理的是如何把闭区间[]1

,

n

xx换成开区间()

1

,

n

xx．

证明设()fx在闭区间[]1

,

n

xx上的最大值和最小值分别为

,Mm

，则()(1,2,,)

i

mfxMin££=L，

因此

()()()

12n

fxfxfx

mnMn

mM

nnn

+++

=££=

L

，由闭区间连续函数的介值定理可知，存在[]11

,

n

xxhÎ

使得()

()()()

12

1

n

fxfxfx

f

n

h

+++

=

L

．

若()11

,

n

xxhÎ，则令

1

xh=

，结论得证．

若

1

h恰与闭区间[]1

,

n

xx的某一端点重合，不妨设

11

xh=

，则()

()()()

12

1

n

fxfxfx

fx

n

+++

=

L

，即

()

()()

()2

111

n

fxfx

fxf

n

h

++

==

-

L

，则可以在闭区间[]2

,

n

xx上找到一点[]

22

,

n

xxhÎ，使得

()

()()

()2

211

n

fxfx

ff

n

hh

++

==

-

L

．

若

2n

xh¹

，则令[)()

221

,,

nn

xxxxxh=ÎÍ，结论得证．

若

2n

xh=

，则()

()()()

231

2

n

n

fxfxfx

fx

n

-

+++

=

-

L

，存在[]()3211

,,

nn

xxxxh

-

ÎÍ，使得()

3

fh=

()()()

()()()231

212

n

n

fxfxfx

fxff

n

hh-

++

===

-

L

．若()31

,

n

xxhÎ，则令

3

xh=

，结论得证．

综上所述，一定存在()1

,

n

xxxÎ，使得

()()()

12()n

fxfxfx

f

n

x

+++

=

L

．

例2设函数()fx在闭区间[0,2]上连续，在开区间(0,2)内可导，且2

0

2(0)()dffxx=ò，证明：存在

(0,2)hÎ，使得()(0)ffh=．

分析题设里有定积分，证明点的存在性会想到用积分中值定理，即存在一点[0,2]hÎ，有

()2

0

()d2fxxfh=ò，可得结论()(0)ffh=．但存在的一点h是在闭区间[0,2]上，并不是题中的开区间

0,2（）

内．

证明设

0

()()dxFxftt=ò，其中：[0,2]xÎ，则2

0

()d(2)(0)fxxFF=-ò．

因为积分上限函数()Fx在区间[0,2]上连续，在区间(0,2)内可导，所以()Fx满足拉格朗日中值定理，

即存在(0,2)hÎ，使()(2)(0)

2

FF

Fh

-

¢

=

，整理得()2

0

2()dffxxh=ò．由于已知2

0

2(0)()dffxx=ò，从而

有()(0)ffh=，(0,2)hÎ．

由例2可以看出，参数h的取值范围在开区间内，用积分中值定理的结论就会显得有一定局限性．如

果将定理结论中参数的取值范围缩小，就能加强定理的结论，使其应用更加广泛．

定理3（加强积分中值定理）[5-6]如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在积分区间(,)ab内至少

存在一点x，使得()d()()b

a

fxxfbax=-ò，abx<<．

教材[5-6]是利用

d

()d()

d

x

a

fttfx

x

=ò证明的，即令()()dx

a

Fxftt=ò，()0Fa=，()Fx在区间[,]ab上显

然满足拉格朗日中值定理的条件，则在区间(,)ab内，至少存在一点x，使得()()()()FbFaFbax¢

-=-成

立，整理得()d()()b

a

fxxfbax=-ò．

加强积分中值定理也可不依赖公式

d

()d()

d

x

a

fttfx

x

=ò而直接证明．

引理[7-8]若函数(),()fxgx在闭区间[,]ab上连续，对于任意[,]xabÎ，有()()fxgx³，且存在点

0

x

，

第6期杨磊：闭区间连续函数点的存在性在开区间上的探讨9

使得()()00

fxgx>，则()d()dbb

aa

fxxgxx>òò．

给出加强积分中值定理的证明过程．

证明若()fx在区间[,]ab上恒为常数，则在区间(,)ab内任取一点xx=，有()()d()b

a

fxxfbax=-ò

成立．

若()fx在区间[,]ab上不恒为常数，则根据闭区间连续函数的最值定理可知，()mfxM££

（

axb££

），其中：

m

为最小值；M为最大值．

由介值定理可知，在区间(,)ab内至少存在一点

0

x

，使得

0

()mfxMl<=<

（

0

axb<<

）．由引理可

知，d()ddbbb

aaa

mxfxxMx<<òòò，即()()d()b

a

bamfxxbaM-<<-ò．进而

1

()b

a

mfxdxM

ba

<<

-

ò，记

1

()db

a

fxx

ba

m=

-

ò，则有mMm<<．

由介值性定理可知，在区间[]12

,(,)xxabÌ内（或[]

21

,(,)xxabÌ）至少存在一点x，使得()fxm=，

即

1

()d()b

a

fxxf

ba

mx==

-

ò．

综上所述，有()d()()b

a

fxxfbax=-òabx<<．证毕．

在不改变积分中值定理条件的前提下，将定理结论中点的存在性变成在开区间上成立，加强了定理的

结论，应用起来有时会方便很多．

例3设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且在开区间(,)ab内恒有()0fx

¢

>．证明：在区间(,)ab内

存在唯一的x，使曲线()yfx=与直线()yfx=及

xa=

所围成平面图形面积

1

S

是曲线()yfx=与直线

()yfx=及

xb=

所围平面图形面积

2

S

的3倍．

分析例３是利用定积分求平面图形面积与证明连续函数点的存在性的综合题．证明在开区间内点x

的存在性是难点，若不借用加强积分中值定理，证明过程会很繁琐．用２种方法证明点x的存在性来对比

说明加强积分中值定理的高效性．

证明存在性．

方法１在区间[,]ab上任取一点t，依题意可知，()

1

()()dt

a

Sftfxx=-ò，()2

()()db

t

Sfxftx=-ò．令

()()

12

()3()()d3()()d()()()d3()d()()tbtb

atat

FtSSftfxxfxftxfttafxxfxxftbt

éùéù

=-=---=-----

êúêú

ëûëû

òòòò

，

则()Ft在区间[,]ab上连续．因为()0fx

¢

>，故()fx在区间[,]ab上单调增加，在区间(,)ab内取定点

c

，

则()()()()()3()()d3()()d3()()d3()()dbcbb

aacc

Fafxfaxfxfaxfxfaxfxfax=--=----£--òòòò．由积分中值定

理可知，()()()1

()()d()()b

c

fxfaxffabcx--=--ò，其中：

1

cbx££

，因此()()1

()3()()0Faffabcx£---<

．

()()()()()()()d()()d()()d()()dbcbc

aaca

Fbfbfxxfbfxxfbfxxfbfxx=-=-+-³-òòòò，而由积分中值定理

可知，()()()2

()()d()()c

a

fbfxxfbfcax-=--ò，其中：

2

acx££

，因此()()2

()()()0Fbfbfcax³-->

．

因此()()0FaFb<，由零点定理可知，在(,)ab内至少存在一点x，使()0Fx=，即

12

3SS=

．

方法１的证明有点繁琐，若用加强积分中值定理会使证明更简洁一些．

方法２在区间[,]ab上任取一点t，令()()

12

()3()()d3()()dtb

at

FtSSftfxxfxftx=-=---òò．

因为()0fx

¢

>，故()fx在区间[,]ab上单调增加．由定理3可知，()()3()()db

a

Fafxfax=--=-ò

()()1

3()()0ffabah--<

，其中：

1

abh<<

；()()()2

()()()d()()0b

a

Fbfbfxxfbfbah=-=-->ò，其中：

2

abh<<

．因此()()0FaFb<，由零点定理可知，在区间(,)ab内至少存在一点x，使得()0Fx=，即

12

3SS=

．

（下转第14页）

14高师理科学刊第38卷

表4基于改进的阻滞增长模型的2019—2038年人口预测万

年份预测人口年份预测人口年份预测人口年份预测人口

2019137428.48.38922029136893.52.8317

2020137584.686.94.569.3474

2021137695.78.678.44.4003

2022137762.77662027137394.717.66.0512

2023137784.298.702.489.0497

由表４可以看出，用式（9）进行预测，我国大陆人口在2023年达到人口高峰，峰值为137784.298

万，从2024年开始出现负增长．

马尔萨斯与Logistic这2种模型都表明人口总量随时间都在增长[10]，这和人口变化不一致，因为在有

些国家，已出现人口负增长，另一方面，这2个模型都没有体现我国人口政策．而通过这２种模型的改进

与拟合可以看出，增长率()rt为时间的二次函数时预测结果误差比增长率()rt为时间的一次函数时的误差

小，而这２种预测结果都比连续型和离散型的Logistic模型的预测结果要好．在对阻滞增长模型进行改进

中发现，()xj为x的一次函数时预测结果误差比所有模型的误差都小，是所有预测结果中最好的一种模型．

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[10]杨丽霞．数学模型在人口预测中的应用——以江苏省为例[J]．长江流域资源与环境，2006（5）：30-31

（上接第9页）

唯一性．因为()()[()3()]0Ftfttabt

¢¢

=-+->，故()Ft在区间(,)ab内单调增加，因此在区间(,)ab内

只有一个x，使

12

3SS=

．

利用加强积分中值定理能灵活地将点的存在性转化在开区间内，这样证明就容易得多，证明中不需要

太多技巧．

参考文献：

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