对顶角的定义

角、余角、补角、对顶角

一、基础知识：

1、角

（1)角的定义：从一点出发的条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的，这两条射线叫做

角的.

角也可以看作由一条射线绕着它的旋转而成的图形。

射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做；继续旋转回到起始

位置OA时，所成的角叫做。

（2)角的表示方法：1）用一个数字表示一个角，如∠1、∠2等。

2）用一个小写希腊字母表示一个角，如∠α、∠β、∠γ等。

3）用一个大写英文字母表示一个独立的角（在一顶点处只有一个角），如∠A、∠B等。

4）用三个大写英文字母表示任意一个角，如∠ABC等。

（3)角的度量单位及换算：1º=60¹，1¹=60¹¹，1周角=360º，1平角=180º

（4)角的分类：小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类。它们之间的关系是：

1周角=2平角=4直角=360º;1平角=2直角=180º;1直角=90º

（5)角平分线的定义:从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

（6)角的比较方法：（1）度量法（2）叠合法。

（7)角的和差：如图

2、余角和补角

（1）定义：如果两个角的和等于0，就说这两个角互为余角。

如果两个角的和等于0，就说这两个角互为补角。

注意：余角和补角是两个角之间的关系；只与数量有有关，而与位置无关。

（2）性质:同角(或等角）的余角；同角(或等角）的余补角。

3、对顶角：（1）对顶角的定义:，我们把这样的两个角叫

做对顶角。

（2）、对顶角的性质：.

二、经典例

题：

例1．''2330o=78.36_________'____"

变式训练：4、计算:①1.5°=′=″；②450″=′=°；③90°-54°48′6″

=.

例2．计算（1）180º—（39º18¹24¹¹+12º49¹48¹¹）（2）34º17¹×

5

变式训练：

5245'3246'_________'18.32634'_________'

例3．如图，OC平分∠AOD，OE是∠BOD的平分线，如果∠AOB=130º，那么∠COE是多少度？

变式训练：例3、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，

∠AOD－∠DOB=72°，求∠AOC和∠DOE的度数。

例4．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90º，求这个角。

变式训练：若∠1和∠2互为余角，∠1和∠3互为补角，∠2和∠3的和等于周角的三分之一，那么∠1、∠2、∠3

的度数分别为（）

A．75○、15○、105○B、60○、30○、120○C．50○、40○、130○D、70○、20○、110○

例5．

变式训练：如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°

（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；

（2）求出∠BOD的度数；

（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由.

例6.如图所示，现有一张小区规划设计图，准备建三个小亭子A、B、C，但由于不小心，C点的位置被损坏，已

经看不清了，但是，知道C处在A处北偏东45º方向上，在B处南偏东30º的方向上，你能帮助工作人员确定C

处的位置吗？

变式训练：如右图所示，由M观测N的方向是（）

A、北偏西60°B、南偏东60°

C、北偏西30°D、南偏东30°

例7.如图，点O在直线AD上，∠EOC=90°，∠DOB=90°

（1）若∠EOD=50°，

B·

A·

60°

N

M

①求∠AOC的度数

②若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数

（2）将∠EOC绕O点旋转一圈，设∠EOD为α(0°<α<180°)

①当α为何值时，∠BOC为60°

②当α为何值时，直线

．．

OC平分∠BOD；

变式训练：如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600,OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.

(1)求∠EOF的度数；

(2)若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝x0，∠EOF＝y0，其它条件不变.①则请用x的代数式

来表示y.②如果∠AOB+∠EOF＝1560.则∠EOF是多少度？

三、巩固练习：

1、判断题

（1）两条射线组成的图形叫做角.（）

（2)角的大小与角的两边的长短无关.（）

（3）如果两个角的和是一个直角，这两个互为补角；（）

（4）若有两个角相等，则这两个角是对顶角；（）

（5）如果有两个角互余，那么这两个角的和一定是90°。（）第2题

2、如右图所示，直线AB、CD相交于O点，∠AOC和∠BOD的和是220°，则∠BOC=____.

3、计算:①1.5°=′=″；②450″=′=°；③90°-54°48′6″=.

4、时钟时间是2：30时，时针与分针的夹角是____°

5、如图，已知OC平分∠BOD，∠AOD=110°，

∠COD=35°，则∠AOB=_____°,∠AOC=____°

6、如图，直线AB、CD、EF，相交于点O，∠AOF=3∠FOB，

∠AOC=90°，求∠EOC的度数。

A

B

C

D

O

O

B

C

E

A

F

7、一个角的补角比它的余角的3倍少12度，求这个角的度数。

四、课后作业

1．已知两个角的比是

64∶

，其差为36，则这两个角的关系是（）

Ａ．互余Ｂ．互补Ｃ．既不互余也不互补Ｄ．不确定

2．将一直角三角板的直角顶点与直角三角形ABC的顶点A重合，如图4所示，将三角板紧贴纸面绕点A旋转，

下列结论始终成立的是（）

Ａ．BAEDAC∠∠Ｂ．180BAEDAC∠∠

Ｃ．45BAEDAC∠∠Ｄ．BADEAC∠∠

3.钟面上9点20分,时针与分针的夹角是____________

4.若∠A=35°18′,那么∠A的余角是________,补角是___________。

5．如图，115,90AOC,点B、O、D在同一直线上，求2的度数。

6．（1）一个角的余角比它的补角

2

9

还多1，求这个角；（2）已知互余两角的差为20，求这两个角的度数．

7.如图，已知OE是∠AOB的平分线,C是∠AOE内的一点，

∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，求∠EOC的度数.

A

B

C

D

O

1

2

A

B

C

E

O