高斯求和公式

三年级高斯求和

HENsystemofficeroom【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

第3讲：高斯求和

德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学

们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯

为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题

巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等

差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数

（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的

数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：

等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2

末项＝首项＋公差×（项数－1）

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

例1：计算下列数列的和

（1）1，2，3，4，5，，100；

（2）1，3，5，7，9，，99；

（3）8，15，22，29，36，，71。

其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；

（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

（4）

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2

例2：计算下面数列的和

1＋2＋3＋＋1999

分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有

1999个数。由等差数列求和公式可得

解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差

数列。

例3：计算下面数列的和

11＋12＋13＋＋31

分析：这串加数11，12，13，，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有

31-11＋1＝21（项）。

解：原式=（11+31）×21÷2=441

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项

数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=

首项+公差×（项数-1）。

例4：计算下面数列的和

3＋7＋11＋＋99

分析：3，7，11，，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25

解：原式=（3＋99）×25÷2＝1275

例5：求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和

有关的问题。

例6：在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴

棍。

问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为1、3、5、

7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×

12＝768（平方厘米）

2）火柴棍的数目为3＋6＋9++24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例7：盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变

成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放

回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时

盒子里共有多少只乒乓球？

分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了

2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋＋2×10＝2

×（1＋2＋＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝

113（只）。

解：综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋＋10）＋3

＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3

＝113（只）课后练习：

1.计算下列各题：

（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

（2）2＋4＋6＋＋200

（3）17＋19＋21＋＋39

（4）5＋8＋11＋14＋＋50

（5）3＋10＋17＋24＋＋101

（6）48＋50＋52＋54＋56＋58＋60＋62

（7）21＋23＋25＋27＋29＋31

（8）7＋10＋13＋…＋37＋40

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和

4.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

5.已知等差数列2，5，8，11，14，…

（1）这个数列的第13项是多少？

（2）47是其中的第几项？

6.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个

座位，这个剧场共有多少个座位？

7.在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。