二项分布的期望和方差

.

'.

二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给

出一推导过程仅供参考。

预备公式一

1

1





k

n

k

n

nCkC

（1n），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式二

2

2)()()(EED，证明过程可见教材。

预备公式三

2

2

)1()1(



k

n

k

n

CnnCkk

（

2,2kn

），利用组合数计算公式即可证明。

预备公式四

),,,,(022110nkmkNknmCCCCCCCCCk

nmm

k

n

k

mn

k

mn

k

mn







，利用恒等

式mnnmxxx)1()1()1(的二项展开式中kx的系数相等可证。

一、二项分布

在

n

次独立重复试验中，每次试验中事件

A

发生的概率为

p

（

10p

），事件

A

发生

次数为



，则



的概率分布列为：



012

…

k

…

n

P

no

n

ppC)1(011)1(no

n

ppC22)1(no

n

ppC

…

knko

n

ppC)1(

…

0)1(ppCno

n



1.

二项分布的数学期望

npppnpppCnp

ppnCppkCppkCE

n

n

k

knkk

n

n

k

knkk

n

n

k

knkk

n

n

k

knkk

n































1

1

11

1

1

1

1

10

)1()1(

)1()1()1()(

2.

二项分布的方差

.

'.



)1(

)1()1()1()1(

)1()1()()1()1(

)1()1()1(

)1()()1()()()(

222222

n

2

22

2

2

22

n

2

2

2

22

n

2

22

n

1

n

1

22

n

1

22

n

0

2

2

2

pnp

pnnppppnnpnnpppCpnn

pnnpppCnnpnEppCkk

pnppkCppCkk

pnppCknpppCkEED

n

k

knkk

n

k

knkk

n

k

knkk

n

k

knkk

n

k

knkk

n

k

knkk

n

k

knkk

n

























































二、超几何分布

一批产品共

N

件，其中有

M

件不合格品，

N

-

M

件合格品，从中随机取出

n

件产品中，

不合格品数

X

的概率分布列为：

X

012

…

k

…

m

P

n

N

n

MNM

C

CC



0

n

N

n

MNM

C

CC11



n

N

n

MNM

C

CC22



…

n

N

kn

MN

k

M

C

CC



…

n

N

mn

MN

m

M

C

CC



其中

m

=

min

（

n

，

M

）。

1.

超几何分布的数学期望



N

nM

nNnN

NnNnM

C

C

M

CCCCCC

C

M

CC

C

M

C

CC

k

C

CC

kXE

n

N

n

N

mn

MN

m

M

n

MNM

n

MNM

n

N

kn

MN

m

k

k

M

n

N

m

k

n

N

kn

MN

k

M

m

k

n

N

kn

MN

k

M





























































)!()!1(!

)!1()!(!

)(

1

1

1

1

21

1

10

1

1

1

1

10

）（利用预备公式四可得



2.

超几何分布的方差

.

'.













)

1

1

1)(1(

1

1

1)1(

)1(

)1(

1

)()()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

2

1

2

2

0

2

2

2



























































































































































N

n

N

M

N

nM

NN

MNnN

N

nM

N

nM

N

nM

NN

nnMM

N

nM

N

nM

C

C

MM

N

nM

N

nM

CC

C

MM

N

nM

C

CC

k

C

CC

kk

N

nM

C

CC

k

N

nM

C

CC

kXEXEXD

n

N

n

N

kn

MN

m

k

k

M

n

N

m

k

n

N

kn

MN

k

M

m

k

n

N

kn

MN

k

M

m

k

n

N

kn

MN

k

M

m

k

n

N

kn

MN

k

M

3.

超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系

根据极限知识，很容易得到：

在超几何分布中，当N时，

p

N

M

（二项分布中的

p

）

（

1

）当N时，超几何分布的数学期望

)()(XEnp

N

M

nXE

（二项分布

的数学期望）

（

2

）当N时，超几何分布的方差

)1(

1

1

11)(pnp

N

n

N

M

N

M

nXD

































（二项分布的方差）

（

3

）当N时，超几何分布可近似为二项分布。