求2

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

知识点：

一、函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有()fxM；

（2）存在

0

xI，使得

0

()fxM．

那么，称M是函数()yfx的最大值．

思考：依照函数最大值的定义，结出函数()yfx的最小值的定义．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在

0

xI，使得

0

()fxM；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有

()(())fxMfxm．

二、求函数最大（小）值常用的方法．

案例分析：

例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①()3fxx②()3[1,2]fxxx

③2()21fxxx④2()21[2,2]fxxxx

类型一、直接观察法

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数

1

,[1,2]yx

x



的值域

例2、若函数

x

xf

2

log2

1

)(



，则该函数在（1，+∞）上（）

A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值

B、单调递增，无最大值D、单调递增，有最大值

小试牛刀：

1、求函数

2

1

y

x





在区间[2，6]上的最大值和最小值．

2、求函数

xx

xf

32

6





在[-1，2]上的最小值？

3、已知,22yx求

2

3





x

y

的取值范围。



5

5

2

2







x

x

xf

类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)

例：求函数

34

56

x

y

x







值域。

实战训练场：

1)求函数

2

13







x

x

y的值域；

2)函数

.

1

1

的值域是

x

x

y







类型三、倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例1、求函数

2

3

x

y

x







的值域。

例2、求函数的值域。

类型四、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一

(二次函数）（02acbxaxy

]

4

4

(0);

4

4

[0

22

a

bac

，，a，

a

bac

，a







值域是时值域是时

)。

例、求函数

225,yxxxR

的值域。

实战训练场：

1、]53(232，求函数xxxy的值域；

2、求562xxy函数的值域；

类型五、根判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他

方法进行化简

例1、求

2

2

223

1

xx

y

xx







的最值

例2、求函数

x

xy

1

的值域；

例3、已知函数)(

12

Rx

x

bax

y





的值域为,4,1求常数ba,

实战训练场：

（1）求函数

12

2







xx

xx

y的值域

(2)求函数

32

742

2

2







xx

xx

y

的值域

二、),(

2

fex

nmx

cbxax

y





类型

解法：用代定系数法将它化为

2()()

()

pmxnqmxnkk

ypmxnq

mxnmxn







(),

kb

ptqtmxnyax

tx

再利用函数的图象和单调性来解。

例1、求

2335

(2)

22

xx

yx

x







的最小值

三、

2

([,])

mxn

yxef

axbxc







类型

解法：用代定系数法将它化为：

2

11

(),

()()

()

mxn

ytmxn

kk

pmxnqmxnk

pmxnqptq

mxnt











再利用函数

b

yax

x

的图象和单调性来解。

例1、求

2

2

(56)

36

x

yx

xx







的最值

变式训练：

1、求函数.)

2

5

(

42

542

的值域





x

x

xx

y

2、函数

4

5

2

2







x

x

y的最小值？

类型六、换元法：“;)0(dcxtacdcxbaxy的函数，可令形如

例1、求函数xxy142的值域

例2、求函数1yxx的最大值．

练习：

(1)求函数.12的值域xxy

类型七、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例1：求函数

1

1







x

x

e

e

y的值域。

例2、求出下列函数的值域：

1、y=

xsin1

1



2、y=xcos2

例3、求函数

x

x

y

cos2

sin2







的最大值和最小值

例4、求函数









cos1

1sin2

,

sin1

1sin2











yy的值域。

类型八、函数单调性法

例1.求函数

)10x2(1xlog2y

3

5x

的值域。

类型九、一一映射法

原理：因为

)0c(

dcx

bax

y







在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求

另一个变量范围。

例1、求函数

1x2

x31

y







的值域。

例2、设函数y=|x2-x|+|x+1|，求-2≤x≤2时，y的最大值和最小值．

例3、已知函数,

2

1

log3

2

1

x求函数

4

log

2

log

22

xx

y的最大值和最小值。

例3、已知,1log1

2

1

x求函数2

2

1

4

4

11































xx

y的最大值和最小值。

1、求函数|3||1|yxx的最大值和最小值．

2、求函数的值域|4||1|xxy

3．已知直线012:yxl和点A（-1，2）、B（0，3），试在l上找一点P，使得

PBPA

的值

最小，

并求出这个最小值。

4.已知点(1,1)A，(2,2)B，点P在直线

xy

2

1



上，求

22PBPA取得最小值时P点的坐标。

5.求函数22()2248fxxxxx的最小值。

6、求函数

22)8x()2x(y

的值域。

8、求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

9、求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

10、求函数4814822xxxxxf的最小值和最大值。

11、若Ryx,且满足:,0222yxxyyx则

max

x

min

y。

12、若.41,,22yxRyx求22yxyxu的最值。

13、设

，且

2

1

20,0yxyx求当yx,为何值，)148(log2

3

1

yxyu取得最大值和最小

值，并求出最大值和最小值。

14、已知,0623,22xyxRyx且求222yx的值域。