.
.
正切函数
1.正切函数的图像
(1)根据tan(x+π)=
)cos(
)sin(
x
x
=
x
x
cos
sin
=tanx
(其中x≠kπ+
2
,k∈Z)推出正切函数的周期为π.
(2)根据tanx=
x
x
cos
sin
,要使tanx有意义，必须cosx≠0,
从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+
2
,k∈Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-
2
,
2
).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x∈(-
2
,
2
)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+
2
(k
∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
y=tanx
2.余切函数的图像如下：
y=cotx
3.正切函数、余切函数的性质：
正切函数y=tanx余切函数y=cotx
.
.
定义域
{x｜x∈R且x≠kπ+
2
,k∈Z}
{x｜x∈R且x≠kπ,k∈z}
值域RR
周期性ππ
奇偶性奇奇
单调性
每个区间(kπ-
2
,kπ+
2
)
上递增(k∈Z)
每个区间(kπ,(k+1)π)上
递减(k∈Z).
注：正切函数在每一个开区间(kπ-
2
,kπ+
2
)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个
定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+
2
,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+
2
(k
∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+
2
,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)
正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-
2
,kπ+
2
)(k∈Z)上是连续的；(3)
在每一个区间(kπ-
2
,kπ+
2
)(k∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再
写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，
得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用
不等式正确表示区域.
例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方
的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜
tanx｜的图像.
解：由于y=｜tanx｜=tanx,x∈Z［kπ,kπ+
2
］
-tanx,x∈(kπ-
2
,kπ)(k∈Z)
所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+
2
)
(k∈Z);单调减区间为
(
kπ-
2
,k
π］(k∈Z).
.
.
说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜
tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为
.
例2求函数y=lg(tanx-
3
)+
3cos2x
的定义域.
解：欲使函数有意义，必须
tanx＞
3
,
2cosx+
3
≥0,
x≠kπ+
2
(k∈Z)
由此不等式组作图
∴函数的定义域为(kπ+
3
,kπ+
2
).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图
像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中
作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别
注意函数的定义域.
例3求函数y=tan(2x-
3
)的单调区间.
解：y=tanx,x∈(-
2
+kπ,
2
+kπ)(k∈Z)是增函数.
∴-
2
+kπ＜2x-
3
＜
2
+kπ,k∈Z.
即-
12
+
2
k
＜x＜
12
5
+
2
k
，k∈Z
.
.
函数y=tan(2x-
3
)的单调递增区间是(-
12
+
2
k
,
12
5
+
2
k
).(k∈Z)
例4求函数f(x)=tan(2x+
3
)的周期.
解：因为tan(2x+
3
+π)=tan(2x+
3
)
即tan［2(x+
2
)+
3
］=tan(2x+
3
)
∴tan(2x+
3
)的周期是
2
.
例5求函数y=3tan(2x+
3
)的对称中心的坐标.
分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(
2
k
,0)(k∈Z).函数y=Atan(ω
x+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰
好为图像与x轴交点.
解：由2x+
3
=
2
k
,(k∈Z)得
x=
4
k
-
6
(k∈Z)
∴对称中心坐标为(
4
k
-
6
,0)(k∈Z)
注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞
0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例判断函数f(x)=tan(x-
4
)+tan(x+
4
)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有
f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式
方可求.
解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+
4
,k∈Z}它是关于原点对称.
又f(-x)=tan(-x+
4
)+tan(-x-
4
)
=-tan(x-
4
)-tan(x+
4
)=-f(x)
故此函数是奇函数.
y=tan(x-
4
)+tan(x+
4
)
.
.
=tan［(x-
4
)+(x+
4
)］［1-tan(x-
4
)tan(x+
4
)］
=tan2x［1+cot(x+
4
)tan(x+
4
)］=2tan2x
∵sin(
2
-a)=cosa
cos(
2
-a)=sina
∴tan(
2
-a)=cota
cot(
2
-a)=tana
故tan［
2
-(x+
4
)］=cot(x+
4
)
即-tan(x-
4
)=cot(x+
4
)
周期为
2
当kπ-
2
＜2x＜kπ+
2
2
k
-
4
x
＜x＜
2
k
+
4
(k∈Z)
即x∈(
2
k
-
4
,
2
k
+
4
)时，原函数是增函数.
评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们
必须熟悉正切函数的性质.
y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=
.
例2已知
)]
6
cos(9
2
11
lg[
x
≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.
分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.
解：由已知条件，可得0≤lg［
2
11
-9cos(x+
6
)］≤1.
得-
2
1
≤cos(x+
6
)≤
2
1
∴kπ+
3
≤x+
6
≤kπ+
3
2
,k∈Z.
∴kπ+
6
≤x≤kπ+
2
,k∈Z.
∴0≤cotx≤
3
y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4
.
.
∴当x=kπ+
4
,k∈Z时，y取最小值4.
当x=kπ+
2
,k∈Z时，y取最大值5.
从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.
【典型热点考题】
例1满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是()
A.(0，
4
)B.［0，
4
］C.［
4
，
2
］D.(
4
，
2
)
分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.
解：由选择项，可以考虑α∈(0，
2
)的性况.
∵tanα≥tan(
2
-α),且α,
2
-α∈(0,
2
)
∴α≥
2
-α,∴
4
≤α＜
2
.
故选C.
例2函数y=
x
x
2tan1
2tan1
2
2
的最小正周期是()
A.
4
B.
2
C.πD.2π
解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.
∴应选B.
解法2：y=
x
x
2tan1
2tan1
2
2
=cos4x
∴T=
4
2
=
2
∴应选B.
例3函数y=
x
2
1
log2
+
xtan
的定义域是.
解：x应满足2+log2
1
x≥0①
x＞0②
tanx≥0③
x≠kπ+
2
,k∈Z④
由①②得0＜x≤4⑤
由③④并注意到⑤得0＜x≤4
0≤x＜
2
或π≤x＜
2
3
.
.
∴0＜x＜
2
或π≤x≤4.
∴应填(0，
2
)∪[π，4]
例4如果α、β∈(
2
,π),且tanα＜cotβ,那么必有()
A.α＜βB.β＜αC.α+β＜
2
3
D.α+β＞
2
3
解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.
有tan(α+β)=
tantan1
tantan
＞0
有α+β∈(π，
2
3
)∴α+β＜
2
3
.
∴应选C.
说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=
3
2
,可排除A、
B、D.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.下列不等关系中，正确的是()
3＞cot4＞4＞cot3＞cot5
4＞cot5＞5＞cot4＞cot3
2.下列不等式中，正确的是()
7
4
π＞tan
7
3
π(-
4
13
π)＞tan(-
5
12
π)
4＜281°＜cot665°
3.观察正切曲线，满足条件｜tanx｜≤1的x的取值范围是(其中k∈Z)()
A.(2kπ-
4
,2kπ+
4
)B.(kπ,kπ+
4
)
C.(kπ-
4
,kπ+
4
)D.(kπ+
4
,kπ+
4
3
)
4.函数y=tanx-cotx的奇偶性是()
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数
5.如果
4
＜θ＜
2
，则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是()
θ＜cosθ＜tanθθ＜sinθ＜tanθ
θ＜sinθ＜cosθθ＜tanθ＜sinθ
.
.
6.y=tanx+cotx的最小正周期是()
A.πB.
2
C.
4
D.以上均不正确
7.将函数y=tan2x的图像向右平移
4
个单位后得到的图像的解析式为()
A.y=tan(2x+
4
)B.y=tan(2x-
4
)
C.y=cot2xD.y=-cot2x
8.若tan(2x-
3
)≤1,则x的取值范围是()
A.
2
k
-
12
≤x≤
2
k
+
24
7
(k∈Z)
B.
2
k
-
12
＜x≤
2
k
+
24
7
(k∈Z)
C.kπ-
12
≤x＜kπ+
24
7
(k∈Z)
D.kπ-
12
＜x＜kπ+
24
7
(k∈Z)
9.函数f(x)=
xxcotcot
1
的定义域为()
A.(kπ,kπ+
2
),k∈ZB.(kπ-
2
,kπ),k∈Z
C.(kπ,kπ+π),k∈ZD.以上均不正确
10.下列命题中正确的是()
A.y=tanx在第一象限单调递增.B.在y=cotx中，x越大，y反而越小
C.当x＞0时，tanx＞0.D.以上均不正确.
11.函数y=tan(
2
1
x-
3
)在一个周期内的图像是()
.
.
12.函数f(x)=
xx
xx
2sin2cos
2sin2cos
的最小正周期是()
A.4πB.2πC.πD.
2
二、填空题
1.使函数y=tanx和y=cosx同时为单调递增函数的区间是.
2.满足tanα＜cotα的角α的范围是.
3.函数y=3tan(
2
1
x-
4
)的定义域是，值域是.
4.函数y=sinx+cotx的图像关于对称.
三、解答题：
1.求下列函数的定义域：
(1)y=
x
x
sin21
)1lg(tan
(2)y=
)
3
tan(
1cos2
x
x
(3)y=
2
cot3
x
2.求函数y=
tanc
tanc
2
2
的值域.
3.求函数y=-2tan(3x+
3
)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.
.
.
4.已知f(x)=tan(2x-bπ)的图像的一个对称中心为(
3
，0)，若｜b｜＜
3
1
，求b的值.
【素质优化训练】
1.解不等式3tan2(2x-
4
)-(3-
3
)tan(2x-
4
)-
3
≤0.
2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),
比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.
3.已知有两个函数f1(x)=asin(kx+
3
),f2(x)=bsin(kx-
3
)(k＞0)它们的最小正周期
之和为2π，且f1(
2
)=f2(
2
),f1(
4
)=-
3
f2(
4
)+1,求a、b、k之值.
4.已知关于x的一元二次方程4x2+5x+k=0的两根分别为sinθ、cosθ,(1)求k.(2)求
以tanθ、cotθ为两根的一元二次方程.
5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
答案：
【同步达纲练习】
一、1.C2.B3.C4.A5.B6.A7.D8.B9.A10.D11.A12.D
二、1.［2kπ-π,2kπ-
2
)
和(2kπ-
2
,2kπ
]
(k∈Z)
2.(kπ,kπ+
4
)∪(kπ+
2
,kπ+
4
3
)(k∈Z)
3.{x｜x≠2kπ+
2
3
,k∈Z}
4.(kπ,0)(k∈Z)
三、1.(1)(2kπ-
4
3
π,2kπ-
2
)(k∈Z)
(2){x｜2kπ-
3
≤x＜2kπ+
3
,且x≠2kπ-
6
,k∈Z
}
(3){x｜2kπ+
3
≤x＜2kπ+2π,k∈Z
}
2.
3
1
≤y≤3
3.定义域{x｜x≠
3
k
+
18
,k∈Z}
值域R，周期
3
，非奇非偶函数
在区间(
3
k
-
18
5
,
3
k
+
18
)(k∈Z)上是单调减函数.
.
.
4.b=-
3
1
【素质优化训练】
1.{k｜
2
k
+
24
≤x≤
2
k
+
4
,k∈Z}
2.相等
3.a=-
3
-1,b=
3
+1,k=2
4.(1)k=
8
9
(2)x2-
9
32
x+1=0
5.略
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