点差法公式

1

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它

的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、

中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式

作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法

为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗

浅的探讨，以飨读者。

定理在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的

斜率为，则.

证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有

，得

又.

.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.

同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在

的直线的斜率为，则.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且

不等于零.

例1．抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）

A.B.C.D.

解：，焦点在轴上.设弦的中点M的坐标为.

由得：，

整理得：.

所求的轨迹方程为.故选B.

例2．抛物线上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（）

A.（＞）B.（＞）C.（＞）D.

解：由得，，焦点在轴上.设平行弦的中点M的坐标为.

由得：，

.

在中，当时，.

点M的轨迹方程为（＞）.

故答案选A.

例3．（03上海）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是___________.

解：，焦点在轴上.设弦MN的中点P的坐标为，弦MN所在的直线的斜率为，则由得：，

从而.

所求的中点坐标是.

例4．抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在上，求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.

由得：，

又点在圆上，

2

解之得：或

由得：

直线与抛物线有两个不同的交点，

＞0.

m＜，或m＞0.

故所求的抛物线方程为

例5．已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.

解：设抛物线上A、B两点关于直线对称，且弦AB的中点为.

根据题意，点P在直线上，，.

又，，.

由，得：，.

又由，得：.

点在抛物线的开口内，

＜.

解之得：＜.

故实数的取值范围.

例6.（05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.

（Ⅱ）当时，求直线的方程.

解：（Ⅰ），.

设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.

若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.

若直线的斜率存在，则其方程为，.

由得：，.

若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.

当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.

（Ⅱ）当时，

由得：.

所求的直线的方程为，即

例7．已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.

解：，，.直线的斜率为1.

由得：.

代入求得.

线段AB的中点坐标是.

例8．直线与抛物线交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则=____.

解：，，.

在中，时，，若PQ中点的纵坐标是.

由得：，即.

解之得：或.

由得：.

直线与抛物线交于不同的两点，

3

解之得：＞且.

.

由得：.即.

设，则.

.

例9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点

M的纵坐标为，则抛物线C的方程为____________.

解：，，.

由得：.

AB所在的直线方程为，即.

例10．设为抛物线的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为，求弦所在的直线方程.

解：设抛物线的方程为（m＞0）.

在中，斜率为，时，.弦AB的中点M的坐标为.

由得：，.

所求的抛物线的方程为.

例11．过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_______.

解：，，.弦所在直线的斜率为1.设弦的中点坐标为.由得：.

弦的中点也在直线上，.弦的中点坐标为.

弦所在的直线方程为，即.

例12．已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称，求实数的取值范围.

解：设弦AB的中点为.

根据题意，，.

又，，.

由，得：，.

又由，得：.

点在抛物线的开口内，

＜.

解之得：＞.

故实数的取值范围.

例13．（05全国Ⅲ理21）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.

（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.

解：（Ⅰ），.

设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.

若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.

若直线的斜率存在，则其方程为，.

由得：，.

若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.

当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，直线的方程为，

它在y轴上的截距，.

直线AB的方程为，即.

4

代入并整理得：.

直线AB与抛物线有两个不同交点，

＞0，即＞0.

＞.

故在y轴上的截距的取值范围是.

例14．(08陕西文理20)已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴

的垂线交C于点N.

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

证明：（Ⅰ），设点M的坐标为.

当时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C在点N处的切线为x轴，与AB平行.

当时，由得：.

.得点N的坐标为.

设抛物线C在点N处的切线方程为，即.

代入，得：，

整理得：.

，

，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.

故抛物线C在点N处的切线与AB平行.

（Ⅱ）解：若，则，即.

.

，

.

由得.

设，则.

.

.即.

化简，得：，即.

.

故存在实数，使.