第一象限

.

第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数

1．了解任意角的概念．

2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化

知识梳理．

一、角的概念

1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所

形成的图形，叫做________．按逆时针方向旋转所形成的角叫做________，按顺

时针方向旋转所形成的角叫做________，一条射线没有作任何旋转时，称它形成

一个________．射线的起始位置称为________，终止位置称为________．射线的

端点叫做角的________．

2．角的分类：__________________.

3．象限角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与

x轴的非负半轴重合，角的________在第几象限，就说这个角是第几象限的角．

4．轴线角的概念：在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始

边与x轴非负半轴重合，角的终边落在________，就说这个角是轴线角．

5．区间角：区间角是介于两个角之间的所有角，如：

6．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合(连同角α在内)，可以记为

_____________________________．

7．几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示：

角的终边所在位置角的集合

x轴正半轴________________

y轴正半轴________________

x轴负半轴________________

y轴负半轴________________

x轴________________

y轴________________

坐标轴________________

二、弧度制

1．1弧度角的定义：我们把长度等于________的弧所对的圆心角叫做________

角.1弧度记作1rad.

用弧度作为度量角的制度，叫做________．

(1度的角：把周角分成360等份，则其中1份所对的圆心角叫做1度的角．用度

作为度量角的制度，叫做角度制)

2.角度制与弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad；1弧度≈57.3°.

.

特殊角的互化：

度30°45°60°90°120°135°150°

弧度______

度210°225°240°270°300°315°330°

弧度____________

3.弧长公式：l＝|α|r(α是圆心角的弧度数)．

4．扇形面积公式：S＝lr＝|α|r

2

.

三、任意角的三角函数

1．三角函数的定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐

标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点P(x，y)，点P到原点的距离记为

r(r＝>0)，那么sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.

注意：上述比值不随点P在终边上的位置的改变而改变．

2．三角函数在各象限的符号.

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得到三角函数在各

象限的符号如上表．也可概括为如下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

若终边落在坐标轴上，则可用定义求出三角函数值．

.

3．特殊角的三角函数值.

α0π

sinα____________________________

cosα____________________________

tanα________________不存在____不存在

4．三角函数的定义域、值域.

函数定义域值域

y＝sinα________________________

y＝cosα________________________

y＝tanα________________________

考点一终边相同的角的表示

【例1】已知角α＝45°，

(1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α终边相同的角β.

(2)设集合M＝





















x







x＝

k

2

×180°＋45°，k∈Z

，

N＝





















x







x＝

k

4

×180°＋45°，k∈Z

，那么两集合的关系是什么？

.

考点二象限角的确定

【例2】(1)若角α是第二象限角，则：①

α

2

是第几象限角？②2α是第几

象限角？

(2)已知α是第三象限角，则

α

3

是第几象限角？

已知＜α＜，则kπ＋α(k∈Z)所在的象限是()

A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限

C．第三象限或第四象限D．第一象限或第二象限

考点三角度制与弧度制的互化

【例3】已知下列各个角：α

1

＝－

11

7π，α

2

＝

511

6π，α

3

＝9，α

4

＝－

855°.

(1)其中是第三象限角的是______．

(2)将它们化为另一种度量制下的数量分别是多少？

考点四扇形弧长、面积的计算

【例4】一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，则扇形的

圆心角是多少弧度？多少度？扇形的面积是多少？

练习：设扇形的周长为8cm，面积为4cm

2

，则扇形的圆心角的弧度数是

____________．

.

考点五利用定义求三角函数值

【例5】(1)已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三角函数值sinα，

cosα，tanα.

(2)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为射线4x＋

3y＝0(x>0)，求sinα













sinα＋

1

tanα

＋cos2α的值．

练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＋cosα的值为______．

考点六特殊角三角函数值的计算

【例6】计算sin

π

4

cos

π

3

sin

π

2

－cosπcos

3π

2

＋tan2

π

6

的值．

练习：计算：sin

π

3

cos

π

6

＋tan2πsin

π

2

－cos

π

4

sin

π

4

＝________.

考点七根据三角函数值的符号确定角所处象限(取值范围)

【例7】若sinθcosθ>0，试确定角θ所在的象限．

思路点拨：(1)首先确定sinθ与cosθ的符号，再判断θ所在的象限．

(2)先化简关系式再确定θ的范围．

(3)因判断θ所在的象限，故本题可以用特殊值(各个象限各取一个)来判断．

练习：如果点P(tanθ，cosθ)位于第二象限，那么θ所在的象限是

()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

.

知识点总结

1．对角概念的理解要准确．

(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同

于“第一象限的角”．其实锐角的集合是小于90°的角的集合的真子集，“0°～

90°的角”的集合为{α|0°≤α≤90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α

(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三

角函数值相等．

2．终边关于坐标轴(原点)对称的角的关系．

(1)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)⇔α＝θ＋kπ(k∈Z)．

(2)α终边与θ终边关于x轴对称⇔α＝－θ＋2kπ(k∈Z)．

(3)α终边与θ终边关于y轴对称⇔α＝π－θ＋2kπ(k∈Z)．

(4)α终边与θ终边关于原点对称⇔α＝π＋θ＋2kπ(k∈Z)．

3．对弧度制概念的理解要准确：等于半径长的弧所对的圆心角等于1弧度．容

易错把弦长等于半径的圆心角当成1弧度．

4．引入弧度制后，角的表示可用弧度制，也可用角度制，但两者不能混合使用．如：

α＝k×180°＋或α＝2kπ＋60°等都是不规范的．

5．在弧度制下，任意一个角α的弧度数都有唯一的一个实数x与之对应；反之，

任何一个实数x也都对应唯一的一个角α.也就是说，角的集合与实数的集合建

立一一对应关系．如角α＝对应唯一的实数.

6．三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值

的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的

角的范围．

如tanα＝有意义的条件是角α终边上任一点P(x，y)的横坐标不等于零，

也就是角α的终边不能与y轴重合，故正切函数的定义域

为.

7．应掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值.