重心的性质

内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼定义及性质总结

内⼼、外⼼、重⼼、垂⼼

1、内⼼

（1）定义：三⾓形的内⼼是三⾓形三条⾓平分线的交点(或内切圆的圆⼼)。

（2）三⾓形的内⼼的性质

①三⾓形的三条⾓平分线交于⼀点，该点即为三⾓形的内⼼

②三⾓形的内⼼到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

③s=(r是内切圆半径)

④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

⑤∠BOC=90°+∠A/2∠BOA=90+∠C/2∠AOC=90+∠B/2

2、外⼼

（1）定义：三⾓形的外⼼是三⾓形三条垂直平分线的交点(或三⾓形外接圆的圆⼼)。

（2）三⾓形的外⼼的性质

①三⾓形三条边的垂直平分线的交于⼀点，该点即为三⾓形外接圆的圆⼼.

②三⾓形的外接圆有且只有⼀个，即对于给定的三⾓形，其外⼼是唯⼀的，但⼀个圆的内接三⾓形却有⽆数个，这些三⾓形的

外⼼重合。

③锐⾓三⾓形的外⼼在三⾓形内；钝⾓三⾓形的外⼼在三⾓形外；直⾓三⾓形的外⼼与斜边的中点重合

④OA=OB=OC=R

⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

⑥S△ABC=abc/4R

3、重⼼

（1）三⾓形的三条边的中线交于⼀点。该点叫做三⾓形的重⼼。（2）三⾓形的重⼼的性质

①重⼼到顶点的距离与重⼼到对边中点的距离之⽐为2：1。

②重⼼和三⾓形3个顶点组成的3个三⾓形⾯积相等。

③重⼼到三⾓形3个顶点距离的平⽅和最⼩。

④在平⾯直⾓坐标系中，重⼼的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直⾓坐标系

——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

⑤重⼼和三⾓形3个顶点的连线的任意⼀条连线将三⾓形⾯积平分。

⑥重⼼是三⾓形内到三边距离之积最⼤的点。

4、垂⼼

（1）定义：三⾓形的垂⼼是三⾓形三边上的⾼的交点(通常⽤H表⽰)。

（2）三⾓形的垂⼼的性质

①锐⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形内；直⾓三⾓形的垂⼼在直⾓顶点上；钝⾓三⾓形的垂⼼在三⾓形外

②三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼；或者说，三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼

③垂⼼O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上