整除的概念

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数的整除知识点总结

一.数的分类第一种分法:

树状图

韦恩图

整数正整数零负整数整数自然数负整数零

正整数正奇数正偶数第二种分法整数奇数

偶数整数奇数偶数第三种分法：

正整数素数1合数整数素数合数1一

些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是

最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大

的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除

1.整除定义（概念）：整数a除以整数b，如果除得的商是整

数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注

意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被

除数，b相当于除数2.整除的条：1.除数、被除数都是整数

2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分

整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一

样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即

a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。如4÷2=2,4既能被2

除尽，也能被2整除；4÷5=0.8,4能被5除尽，却不能说4能被

5整除三．因数与倍数

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1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a就叫做b

的倍数，b就叫做a的因数（约数）。

注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数

是因数，某个数是倍数。如：

6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3

是6的因数。

2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，

一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。

2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最

大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，

没有最大的倍数。因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍

数的个数是无限的。

3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，

找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因

数。如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、

16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按

照一定的顺序以防遗漏。

4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、

5……（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用n表示所有

的正整数，则2的倍数可表示为2n,

5的倍数可表示为5n

四．能被2、5、3整除的数的特点

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1.能被2整除的数（即2的倍数）个位上的数字是0、2、4、

6、8，反之，个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除

2.能被5整除的数（即5的倍数）个位上的数字是0、5，反

之，个位上的数字是0、5的数都能被5整除

3.能被3整除的数（即3的倍数）各个位数上的数字之和是3

的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3

整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0，个位数字为

0的数也能被10整除，能被10整除的数一定能被2或5其中的一

个或两个同时整除。

五．奇数、偶数

1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2

整除的整数叫做奇数。

（按照能否被2整除来划分奇数与偶数）

2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9

偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、8

3.在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶

数，与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差

2，奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。

5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点

奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数

奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利

用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运

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用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合

数

1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因

数，这样的数叫做素数（质数），如果除了1和它本身以外还有

别的因数，这样的数叫做合数。

注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来

分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；任

何一个数（除1外）都有1和它本身两个因数。

2.1既不是素数也不是合数。

3．最小的素数是2，最小的合数是4

2.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。√（1

既不是素数也不是合数，9、15等是奇数但是合数）所有素数都是

奇数。

×（2是素数，但2是偶数）

3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。√（9、

15等都是合数，但它们是奇数）

偶数都是合数。

×（2是偶数但2是素数）

注意:判断题对的要说明原因，错的要举出反例。

七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这

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个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相

乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

注意：1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有

几个素因数就写几个。

如24=2×2×2×3，则素因数是2、2、2、3，而不是2、3

2.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一

定是素数。一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一

定比素因数的个数多。

2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘

号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.

要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写

在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。

短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最

小的开始，偶数肯定先用2除，奇数一般从3开始一个个带入验

算）

2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直

到得出的商是素数为止。

3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的

形式。

3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3，素因

数是2、2、3，除1外由单个的素因数组成因数有2、3，由两个

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素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6，由三个素因数组成的因数有

2×2×3=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12.

4.由一个数分解素因数求这个数因数的个数

(1)所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数

+1，如8=2×2×2，素因数是2、2、2，则8的因数的个数是它素

因数的个数+1，即4个(2)素因数不完全相同时，因数的个数

是每个素因数个数+1后相乘的积，如12=2×2×3，素因数2的个

数是2，素因数3的个数是1，则12的因数的个数是（2+1）×

（1+1）=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数

定义:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的

一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数

只有公因数1，那么称这两个数互素。如8和9注意：互素是两

个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是1.

两个互素的数未必都是素数。

√（8和9互素，但8和9都是合数）

两个不同的素数一定互素.√（若缺少“不同的”，则

错，因为3和3都是素数但不互素）

3.求两个数最大公因数的方法：

(1)一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它们共同的

最大的因数(2)分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，

再找出相同的素因数，把它们所有的公有的素因数相乘，所得的

积就是它们的最大公因数。

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(3)短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小

的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续

除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最大公因数就是左侧

的除数的乘积.(类比用短除法分解素因数的方法)4.两个整数

中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的

最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.

九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数

公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公

倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:(1)一般方法:从小到大

分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数

(2)分解素因数的方法:把这两个数分解素因数，再找出相同的素

因数，再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两

个数的最小公倍数.(3)短除法:先用这两个数公有的素因数去

除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照

上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最小

公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求

两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结

论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,

先判断这两个数是否存在因数(倍数)关系或互素关系,存在因数

(倍数)关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较

大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们

的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三

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个整数的最大公因数和最小公倍数(拓展)(1)求三个整数的最大

公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因

数就是最大公因数.(注意与三个数的最小公倍数区分)(2)求三

个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小

公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素

因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这

些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先

用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其

中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止(即

三对互素数)