5的平方根

课题

第五讲：平方根

教学目标

1、了解平方根和立方根的意义；

2、掌握平方根和立方根的运算

重点、难点

重点:平方根的性质

难点:平方根和立方根的应用

考点及考试要求

灵活掌握平方根的运算和应用

教学内容

知识框架

1、平方根的定义及性质

2、算术平方根

3、立方根

知识点一：平方根的定义及性质

1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即：如果

2x=a，那么x叫做a的平方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方，即ax。

例如：9的平方根是3，3的平方等于9，所以平方与开平方互为逆运算．

2、平方根的性质：

讨论：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？

正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个

0；负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；

符号：非负数a的算术平方根可用a表示；负的平方根可用-a表示；平方根则表示为a，这里的

0a

例1.求下列各数的平方根。

（1）100（2）

169

196

（3）0.25（4）81（5）1

15

49

；（6）0.09

2．下列各数有平方根的个数是（）

（1）5；（2）（-4）2；（3）-22；（4）0；（5）-a2；（6）π；（7）-a2-1

2

3、求下列各式中的x的值。

（1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0；

(3)0.5x2=0.845(4)16(x+2)2=81

4．（1）当_______x时，

x1

1

有意义；

．（2）当________x时，式子

2

1





x

x

有意义；

.（3）若14a有意义，则a能取的最小整数为

变式1：求下列的值。

（1）26（2）2)6(（3）2)6(

（4）49（5）±2)6(（6）22178

变式2：（1）若规定误差小于1,那么60的估算值为（）

A.3B.7C.8D.7或8

（2）估算56的值应在（）。

Ａ7.0～7.5之间Ｂ6.5～7.0之间Ｃ7.5～8.0之间Ｄ8.0～8.5之间

（3）满足53x的整数x是（）

A、3,2,1,0,1,2B、3,2,1,0,1

C、3,2,1,0,1,2D、2,1,0,1

（4）若

a

和

a

都有意义，则

a

的值是（）

3

A.

0a

B.

0a

C.

0a

D.

0a

变式3.（1）若一正数的平方根是2a-1与-a+2，则a=。

（2）若

12112xxy

，则xy的值为。

（3）．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是

（）

A．aB．aC．2aD．3a

【知识点2-算术平方根】

【内容概述】-算术平方根

1、算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平

方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式2x=a(x≥0)中，规定x=a，x就是a的算术平方根。

小结：（1）只有非负数才有算术平方根

（2）一个非负数的算术平方根只有一个且仍旧为非负数。

2、你对正数a的算术平方根a的结果有怎样的认识呢？

a的结果有两种情：当a是完全平方数时，a是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，a是一

个无限不循环小数。例如7525和，25是完全平方数，7不是完全平方数。

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如502500,525

4、平方根和算术平方根的区别与联系：

区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系：（1）被开方数必须都为非负数；

（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

4

（3）0的算术平方根与平方根同为0。

例1、填空

（1）81的算术平方根是；2)8(

=；化简：

2)3(；

（2）若

aa2)2(2，则a的取值范围是；

（3）若7.162.676，26.76a，则的值等于。

（4）若一个圆的面积为236cm，则这个圆的直径为cm。

例2、（1）以下语句及写成式子正确的是（）

A、7是49的算术平方根，即749B、7是2)7(的平方根，即

7)7(2

C、

7

是49的平方根，即749D、

7

是49的平方根，即749

（2）如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则

2ba

的算术平方根是（）；

A、a+b；B、a-b；C、b-a；D、-a-b；

（3）一个自然数的算术平方根是a，则下一个自然数的算术平方根是（）

A．

1a

B．

1a

C．

12a

D．

12a

（4）．已知

a

中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则

a

的值（）

A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；

例3、若a、b、c满足

01)5(32cba

，求代数式

a

cb

的值。

变式1：（1）下列各组数中互为相反数的是（）

A、2)2(2与

B、382与C、2)2(2与D、22与

（2）．下列说法中正确的是（）

5

A.25是5的算术平方根B.5是25的算术平方根

C.5是25的算术平方根D.25是5的算术平方根

（3）若9,422ba，且

0ab

，则

ba

的值为（）

A

2

B

5

C

5

D

5

变式2：（1）已知2a-1的平方根是

3

，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的平方根。

（2）22)4(x

的算术平方根是（）

A、42)4(xB、22)4(xC、42xD、42x

（3）如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴上的-1为圆心，正方形对角线长为半

径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是。

变式3．（1）已知：3yx与1yx互为相反数，求x+y的算术平方根

（2）已知

5

1

｜3a-b-7|+32ba=0求(b+a)a的平方根。

（3）若a、

b

为实数，且4

7

1122









a

aa

b，求3

ba

的值

（4）若b=3a+a3+2,求ba的值。

三、【知识点3-立方根】

【内容概述】：-立方根

1、定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果ax3，

那么x叫做a的立方根。

6

一个正数有一个正的立方根

0有一个立方根，是它本身

一个负数有一个负的立方根

任何数都有唯一的立方根

2、表示：a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若

省略表示平方。例如：327表示27的立方根，3273；327表示

27

的立方根，3273。

说明：（1）任何实数都有且仅有一个立方根；

（2）立方根的符号与被开方数的符号一致。

【总结归纳】

立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

例1、计算

（1）3

27

64

（2）3216（3）3

125

216

（4）3

17

4

27



例2、填空

（1）正数有立方根，负数有一个负的，0的立方根是.

（2）0.064的立方根是，1的立方根是，3的立方根是，

364的立方根是，327的立方根是.

（3）如果325x为正整数，则x的最小整数值是.

（4）若338x65，则x的最小整数为.

（5）已知35.251.738，则35250000.

例3、选择

（1）16的平方根和立方根分别是（）.

A

4

,316B

2

，34C2，34D

2

，34

7

（2）如果-b是a的立方根，则下列结论正确的是（）.

A3baB3baC3baD3ba

（3）平方根和立方根相同的数为a，立方根和算术平方根相同的数为b，

则a+b的立方根为（）.

A0B1C0或1D

1

例4、（1）已知0

5

2522







x

xxy

，求7（x＋y）－20的立方根。

（2）已知一个正方体的体积是10002cm，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，

截去后余下的体积是4882cm，问截去的每个小正方体的棱长是多少？

变式1、填空

（1）立方根是－8的数是＿＿＿，

64

的立方根是＿＿＿＿。

（2）已知328.43.051，328400.

（3）如果2x4

，那么x的立方根是.

（4）若31.11.032，则61.110的立方根是.

（5）若3xy，且3axby，则a与b间关系是.

变式2、计算

（1）400

8

3

32163

3（2）3

6

6

62101010－22120123

8

变式3、解方程

（1）

27

4

x3-2=0；（2）

1

2

（x+3）3=4．

（3）64x3+125=0（4）3

3

x3

8



变式:4、已知A＝3xyxy是3xy的算术平方根，B＝232xyxy是2xy的立方根，试求B

－A的立方根.

课后作业

1、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与2008最接近的一个是（）

A．43；B、44；C、45；D、46；

2．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）

A．-3B．1C．-3或1D．-1

3、如果-

21x

有平方根，则x的值是（）

A、x≥1；B、x≤1；C、x=1；D、x≥0

4、已知x，y是实数，且34x+（y-3）2=0，则xy的值是（）

A．4B．-4C．

9

4

D．-

9

4

5、已知：330.30.669431.442，，那么下列各式中正确的是（）.

（A）330014.42（B）33006.694（C）3300144.2（D）330066.94

6、

361

289

2x，那么x的值为（）

9

A．

19

17

xB．

19

17

xC．

18

17

xD．

18

17

x

7、3ab

的立方根是（）.

（A）

ba

（B）

ab

（C）ab（D）3ab

8、要使3

34a4a成立，则a的取值范围是（）.

（A）

a4

（B）

-a4

（C）

a4

（D）一切实数

9．若一个正数的平方根是

12a

和

2a

，则

____a

，这个正数是；

10.满足-2

11如果a的算术平方根和算术立方根相等，则a等于；

12、

27

8

的立方根与

27

8

的立方根的和是.

13、已知

64

11

3



x

，求x的算术平方根。

14、已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是。

15、通过计算不难知道：

3

2

2

3

2

2

，

8

3

3

8

3

3

，

15

4

4

15

4

4

，则按此规律，下一个式子是＿

＿＿；