因式分解难题

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因式分解难题举例

一、巧用公式法

1、分解因式：a3+b3+c3－3abc．

解原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc

=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．

说明公式a3+b3+c3－3ab=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abcc是

一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将

公式其变形为a3+b3+c3－3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，

则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c

时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

2、分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x

的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an－bn来分解．

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解因为

x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，

所以

二、拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、

化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互

抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互

抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中

添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添

项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4分解因式：x3－9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种

解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1将常数项8拆成－1+9．

原式=x3－9x－1+9

=(x3－1)－9x+9

=(x－1)(x2+x+1)－9(x－1)

=(x－1)(x2+x－8)．

解法2将一次项－9x拆成－x－8x．

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原式=x3－x－8x+8

=(x3－x)+(－8x+8)

=x(x+1)(x－1)－8(x－1)

=(x－1)(x2+x－8)．

解法3将三次项x3拆成9x3－8x3．

原式=9x3－8x3－9x+8

=(9x3－9x)+(－8x3+8)

=9x(x+1)(x－1)－8(x－1)(x2+x+1)

=(x－1)(x2+x－8)．

解法4添加两项－x2+x2．

原式=x3－9x+8

=x3－x2+x2－9x+8

=x2(x－1)+(x－8)(x－1)

=(x－1)(x2+x－8)．

例5分解因式：

(1)x9+x6+x3－3；

(2)(m2－1)(n2－1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2－1)2+(x－1)4；

(4)a3b－ab3+a2+b2+1．

练习设置

1.若a+b=3,a2b+ab2=－30,则a3+b3的值是（）

（A）117（B）133（C）－90（D）143

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2.已知1992,1994,1996cba，那么)()()(baabaccacbbc等于

_____________

3.把代数式2)1()2)(2(xyyxxyyx分解成因式的乘积，应当

是。

4.

12

)12)(12)(12)(12)(12(

32

16842





5．分解因式145aa

三、换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整

体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清

晰．

例1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．

例2分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．

例3分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

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说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新

元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可

以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例4分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．

解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2

=6［(x4－2x2+1)+2x2］+7x(x2－1)－36x2

=6[(x2－1)2+2x2]+7x(x2－1)－36x2

=6(x2－1)2+7x(x2－1)－24x2

=[2(x2－1)－3x］［3(x2－1)+8x]

=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)

=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x2－1看作一个整体，但并没有设立新

元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整

体．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t－36]

=x2(6t2+7t－24)=x2(2t－3)(3t+8)

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=x2[2(x－1/x)－3][3(x－1/x)+8]

=(2x2－3x－2)(3x2+8x－3)

=(2x+1)(x－2)(3x－1)(x+3)．

例5分解因式：(x2+xy+y2)－4xy(x2+y2)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项

式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对

称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)2－xy]2－4xy[(x+y)2－2xy]．令x+y=u，xy=v，

则

原式=(u2－v)2－4v(u2－2v)

=u4－6u2v+9v2

=(u2－3v)2

=(x2+2xy+y2－3xy)2

=(x2－xy+y2)2．

四、双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六

项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2－7xy－22y2－5x+35y－3．我们将上式按

x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

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2x2－(5+7y)x－(22y2－35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘

法，分解为

即

－22y2+35y－3=(2y－3)(－11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=［x+(2y－3)］［2x+(－11y+1)］

=(x+2y－3)(2x－11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步

骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x－11y)=2x2－7xy－22y2；

(x－3)(2x+1)=2x2－5x－3；

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(2y－3)(－11y+1)=－22y2+35y－3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分

解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两

列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列

构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十

字交叉之积的和等于原式中的dx．

例6分解因式：

(1)x2－3xy－10y2+x+9y－2；

(2)x2－y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x－y－2；

(4)6x2－7xy－3y2－xz+7yz－2z2．

解

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y－2)．

(4)

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原式=(2x－3y+z)(3x+y－2z)．

说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

1.当m=__________时，二元二次六项式15174622yxymxyx可

以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积。

2.分解因式：24)4)(3)(2)(1(xxxx

3.分解因式：nnxxxx22)1(

4.分解因式：)1()2)(2(22222222babababa

五、求根法我们把形如anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0(n为非负整数)

的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，

如

f(x)=x2－3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12－3×1+2=0；

f(－2)=(－2)2－3×(－2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

例1分解因式：x3－4x2+6x－4．

例2分解因式：9x4－3x3+7x2－3x－2．

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六、待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里

介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几

个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母

来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项

式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的

几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系

数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例3分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

例4分解因式：x4－2x3－27x2－44x+7．

练习（1）

一、选择题

1.下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）。

（A）(x+1)(x－1)=x2－1(B)(a－b)(m－n)=(b－a)(n

－m)

(C)ab－a－b+1=(a－1)(b－1)(D)m2－2m－3=m(m－2

－

m

3)

2.x=0,y=－4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这

个方程的不同的整数解共有（）组。

（A）2(B)6(C)12(D)16

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3.当x=6，y=8时，42246622yxyxyx的值是（）

（A）1200000－254000（B）1020000－250400

（C）1200000－250400（D）1020000－254000

4.把多项式x2－y2－2x－4y－3因此分解之和，正确的结果是

（）。

(A)(x+y+3)(x－y－1)(B)(x+y－1)(x－y+3)(C)(x+y－3)(x－

y+1)(D)(x+y+1)(x－y－3)

5.已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是

（）。

（A）8（B）4（C）6（D）16

6.将多项式yzzyx1294222分解成因式的积，结果是（）。

（A）)32)(32(zyxzyx（B）)32)(32(zyxzyx

（C）)32)(32(zyxzyx（D）)32)(32(zyxzyx

二、填空题

1.已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平

方和是______。

2.已知3x2+4x－7=0,则6x4+11x3－7x2－3x－7=______。

3.分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=__________。

4.已知012aa，那么3aaa。

5.多项式18a3－8ab2+27a2c－12b2c分解因式积的形式是

__________。

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6.分解因式：babba303的结果是。

7.分解因式：(a+b－2x)3－(a－x)3－(b－x)3的结果等于_______

三、解答题

1.分解因式：x2y2+xy－x2－y2+x+y+2

2.分解因式)23()3(8)2(27333bacacbcba

3.计算)12(175312n

练习（2）

一、选择题

1.已知多项式x2+mx－12能分解成两个整系数的一次因式的积，则

符合条件的整数m的个数是（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

2.在方程组











36

0

333zyx

zyx中，x、y、z是互不相等的整数，那么

此方

程组的解的组数为（）。

（A）6（B）3（C）多于6（D）少于3

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3.如果x、y都是小于１００的自然数，则满足x2－1992=y2的数组

（x,y）共有（）组。

（Ａ）１（Ｂ）２（Ｃ）３（Ｄ）４

4.下列给出5个恒等变形式：

①4)(2422yxyx②)4)(4(16224aaa

③2

2

2

3

3

1

4

9

9

1













aaa④)4(28))((222baaababaa

⑤















ab

baabba

11

2222其中属于因式分解的（）。

（A）都是（B）仅②、③、⑤

（C）仅③、④、⑤（D）仅③、④

二、填空题

1..因式分解：222449cbcba______________.

2.分解因式：12)5)(3)(1(2xxx=______。

3.因式分解：(a+b－2ab)(a+b－2)+(1－ab)2=___________

4.已知1262xx，那么4xxxx______________

5.因式分解：cabbcaca22344＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

6.若x,y均是自然数，且x2=y2+1997,则x=_________

7.将724xxx分解因式，其结果是____________

三、解答题

1.因式分解222222)1(4)23()(xxxxxx

2.分解因式：34xxxx

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练习（3）

一、选择题

1.如果(x－4)(x－a)－1能够等于乘积(x+m)(x+n)(m,n均为整数)，

那么a的值等于（）。

（A）2（B）4（C）6（D）8

2.若x,y均为自然数，且x2=y2+1993.则x的值是（）

（A）994（B）995（C）996（D）997

二、填空题

3.已知（x+2y－1）是二元二次式3x2+axy+by2+x+9y－4的一个

因式，则a=______,b=_______。

4.若010432yx，则yxxxyyxx65。

5.分解因式：2x2－5xy－3y2+3x+5y－2=__________________

6.因式分解：x4+2x2－x+2__________。

7.已知x2+2x+5是x4+ax2+b的因式，那么a+b的值是_________。

8.若(x－a)(x－b)－k中含有因式x+b,则k=____________

三、解答题

1.分解因式744272234xxxx

2.分解因式61xxxxx

3.因式分解)()()(223223223yxzxzyzyx

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