极差公式

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点

极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．

一、定义理解

1、极差

极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小

值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．

极差＝最大值－最小值

极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多

的意义．

2、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的

平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．

求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常

用2S表示一组数据的方差，用x表示一组数据的平均数，

1

x、

2

x、…

n

x表示各数据．

方差计算公式是：

s2=

1

n

[(x

1

-x)2+(x

2

-x)2+…+(x

n

-x)2]；

3、标准差

在计算方差的过程中，可以看出2S的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时

常常将求出的方差再开平方，这就是标准差．

标准差＝方差，方差＝标准差2．

一组数据的标准差计算公式是222

12

1

n

Sxxxxxx

n









…，其中x为n个

数据

12n

xxx，，…，的平均数．

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动

大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标

准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方

法去考察总体的波动情况．

二、例题讲析

例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：

甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100

乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102

（1）求甲、乙两队的平均分和极差？

（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？

解：（1）

3.197100

10

1

）＝（＝

甲

x

甲队的极差＝104－96＝8；甲队的极差＝104－95＝9

（2）

61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(

10

1

222

2＝

甲

S

甲队的标准差：37.261.5；乙队的标准差：03.321.9

所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发

挥更为稳定一些．

例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录

其花期：

甲组：25，23，28，22，27

乙组：27，24，24，27，23

（1）10盆花的花期最多相差几天？

（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？

（3）施用哪种保花肥效果更好？

分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组

数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越

好！

解：（1）28－22＝6（天）所以，10盆花的花期最多相差6天．

（2）由平均数公式得：

252722282325(

5

1

）＝＝

甲

x

得

乙

甲

＝xx，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．

（3）由方差公式得：

得22S

乙

甲

S故施用乙种花肥，效果比较可靠

三、反馈练习

1.一组数据5，8，x，10，4的平均数是2x，则这组数据的方差是________．

2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，－2，－1，1，

0，

则这组数据的极差为______cm．方差是_______，标准差是______

3.若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，

则样本1，2，3，x，y的极差是_______，方差是_______，标准差是______．

4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，

标准差为________．

5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．

6.若样本x

1

，x

2

，……，x

n

的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x

1

，4x

2

，……，4x

n

的平均数x＇＝_____，方差S＇2＝_______．