法线方程怎么求

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模块基本信息

一级模块名称微分学二级模块名称应用模块

三级模块名称切线和法线方程模块编号

2-9

先行知识导数的几何意义模块编号

2-3

知识内容教学要求掌握程度

1、函数的切线方程和法线方程1、会求函数的切线方程和法线方程

简单应用

2、隐函数和参数方程的切线和

法线的求法。

2、了解隐函数和参数方程的切线和法线的求

法。

能力目标

1.培养学生的知识迁移能力

2.培养学生的计算能力

时间分配15分钟编撰尧克刚校对熊文婷审核危子青

修订肖莉娜二审危子青

一、正文编写思路及特点：

思路：在复习导数几何意义的基础上，按照由易到难的顺序讲

题例题、练习，让学生能够灵活运用导数求切线方程和法线方程。

特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。

二、授课部分

（一）预备知识

函数y=f(x)在点x

0

处的导数f(x

0

)在几何上表示曲线y=f(x)在点

M(x

0

,f(x

0

))处的切线的斜率即

f(x0

)tan

其中是切线的倾角

（二）新课讲授

1.切线方程：

由直线的点斜式方程可知曲线y=f(x)在点M(x

0

,y

0

)处的切

线方程为

yy

0f(x0)(xx0)

特别：y=f(x)在点x

0

处的导数为无穷大这时曲线y=f(x)的割

线以垂直于x轴的直线x=x

0

为极限位置即曲线y=f(x)在点M(x

0

,

f(x

0

))处具有垂直于x轴的切线x=x

0



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2.法线方程：

过切点M(x0

,y

0

)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M

处的法线如果

f(x

0

)0法线的斜率为

)(

1

0

xf



从而法线方程为

)(

)(

1

0

0

0

xx

xf

yy





(三)、经典案例

1、基本初等函数的切线和法线方程（一级）

例1求等边双曲线

x

y

1

在点)2,

2

1

(处的切线的斜率并写出

在该点处的切线方程和法线方程

解

2

1

x

y

所求切线及法线的斜率分别为

1

1

2

2

1

()4

x

k

x



4

11

1

2



k

k

切线方程为

)

2

1

(42xy即4xy40

法线方程为

)

2

1

(

4

1

2xy即2x8y150

（选讲）2.隐函数的切线和法线方程（二级）

例2.求由方程30yxexye所确定的隐函数在（0，1)处的

切线和法线方程

解方程两边同时对x求导

230yxeyyxy





得23

0y

y

xy

yex

ex









切线的斜率：

2

0

1

1

0

1

31

x

y

y

x

y

xy

ky

exe















法线的斜率：

2

1

1

ke

k



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切线方程：

1

1yx

e

即

eyxe

法线方程：

1yex

即

1yex

（选讲）3.参数方程的切线和法线方程（三级）

例3.计算由摆线的参数方程











)cos1(

)sin(

tay

ttax

所确定的函数yf(x)的

2

t





处的切线方程和法线方程。

解当

2

t





时(1),

2

xaya



,

)(

)(

tx

ty

dx

dy







)cos1(

sin

])sin([

])cos1([

ta

ta

tta

ta















sin

cot

1cos2

tt

t





切线的斜率：

1

2

(cot)1

2

t

t

k







，

法线的斜率：

2

1

1

1k

k



切线方程为(1)

2

yaax



即(1)0

2

yaxa





，

法线方程为(1)

2

yaax



即(1)0

2

yaxa





.

三、能力反馈部分

1.（考察初等函数的切线和法线方程）（一级）

求y=sinx-cosx在点

2

x





处的切线和法线方程。

2.（考察隐函数的切线和法线方程）（二级）（选做）

设方程22250xyexy

确定函数y=y(x),求函数在点

(1,1)xy

处的切线和法线方程。

3.（考察参数方程的切线和法线方程）（三级）

（选做）

求曲线

sin

cos2

xt

yt











在

6

t





处的切线方程和法线方程.