单调有界准则

.....

.资料...

本科生毕业论文（设计）

题目：单调有界定理及其应用

学生：

学号：

专业班级：

指导教师：

完成时间：2013年5月10日

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-.总结资料

目录

0引言…………………………………………………………………3

1单调有界定理的容及其证明………………………………………3

2单调有界定理的应用…………………………………………………4

2.1定理在证明区间套定理中的应用………………………………………4

2.2定理在证明柯西收敛准则中的应用……………………………………5

2.3定理在证明致密性定理中的应用………………………………………6

2.4定理在证明有限覆盖定理的应用………………………………………6

2.5定理在证明级数的敛散性的应用………………………………………7

3总结……………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………13

致………………………………………………………………………13

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-.总结资料

【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅

淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定

理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正

常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.

【关键词】单调有界,连续,收敛,可积.

【Abstarct】Monotoneboundedtheoremisanimportanttheoreminthetheoryoflimitwhich

article,westudyitsapplicationsin

mple,wecanmakeuofthetheoremtoprovesome

rmore,onthebaofmonotonebounded

theoremofries,weprovethatnon-regularintegralandpositiveriescanbedenotedas

parableobjectforeachotherinordertojustifytheotherconvergencebythemonotonicityand

integralofnon-negativefunctions.

【Keywords】monotonebounded,continuous,convergence,integrable.

0.引言

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-.总结资料

在现行的《数学分析》教材中,通常都把确界原理作为公理给出,用来反映实数集

的连续性(完备性).以此公理作为理论基础,先证单调有界定理,用以判别单调数列极限

的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在,就要引用柯西准则,但柯西准则的充分

性证明,却要放到很后的位置,作为较难的问题专门处理,与此相关的判别函数极限存

在的柯西准则,以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明,也就建立在这样一

种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技

能，引导师生开发技能.

1.单调有界定理的容及其证明

所谓单调有界定理指的是，实数围有界的单调数列必然存在极限，也就是说当实数

数列单调上升（或单调下降）且有上界（或下界）时，该数列极限必存在.（注：在本篇

论文中以单调上升有上界的情况作为论述对象，单调下降有下界情况与此相同）

现对单调有界定理进行证明，证明如下：

不妨设{

n

a}为有上界的递增数列，由确界原理，数列{

n

a}有上界，记sup

n

aa.下

面证明a就是{

n

a}的极限.事实上，任给0,按上确界的定理，存在数列{

n

a}中某一项

N

a,

使得

N

aa.又由{

n

a}的递增性，当nN时有

Nn

aaa.

另一方面，由于a是{

n

a}的一个上界，故对一切

n

a都有

n

aaa.所以当nN时

有

n

aaa,这就证得lim

n

n

aa



.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限

即为它的下确界.

通过以上对单调有界定理的证明，对单调有界定理有了一定的认识与了解，单调有

界定理在数学理论证明中应用很广,接下来我将应用单调有界定理来证明区间套定理、柯

----

-.总结资料

西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理及数列的敛散性.

2.单调有界定理的应用

2.1以单调有界定理来证明区间套定理

设{[

nn

ab]}是一个区间套，根据区间套定理可知在实数系中存在唯一的一个点ξ∈

{[

nn

ab]}，n=l,2…,即：

n

a<ξ<

n

b,n=l,2….

具体证明如下:

由区间套的定义可知{

n

a}为递增有界数列，由单调有界定理可知，数列{

n

a}存在极

限ξ，且

n

a≤ξ，n=l,2….

同理，根据区间套的定义可知,{

n

b}为递减有界数列，同样根据单调有界定理可知

{

n

b}存在极限也是ξ，

n

b>ξ，n=l,2….这样根据

n

a≤ξ，

n

b>ξ（n=l,2…）就可知

n

a<ξ

<

n

b（n=l,2…）.

下面证明ξ的唯一性.

设'

同样满足不等式

n

a≤'

≤

n

b，n=l,2…,根据

n

a<ξ<

n

b（n=l,2…）可知|

ξ-'

|≤

n

b-

n

a，n=l,2…，再由区间套定义就可得出|ξ-'

|≤lim0

nn

n

ba





，由此就

可得出结论'

=ξ，到此证明完毕.

注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间那么才能保证定理的结论成立.对于开

区间列，如

1

(0,)

n







，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且

1

lim(0)0

nn

，

但不存在属于所有开区间的公共点.

2.2以单调有界定理来证明柯西收敛准则

柯西收敛准则：数列{

n

a}收敛的充分必要条件为：对任给的0，存在正整数N，使得

当n，m>N时有

nm

aa.

----

-.总结资料

具体证明如下：

①必要性证明：

当{

n

a}有极限时（设极限为a），ε>0，N（N为正整数）.当n，m>N时，

|

n

a-a|<

2



,|

m

a-a|<

2



，所以|

n

a-

m

a|≤|

n

a-a|+|

m

a-a|<ε，由此可得出{

n

a}是一个柯西数

列.

②充分性证明：

先证明柯西数列{

n

a}是有界的.取ε=1，由于{

n

a}是柯西数列，所以{

n

a}存在一个正

整数

0

N，当n>

0

N时，有|

n

a-

0

1N

a|<1.也就是说，当n>

0

N时|

n

a|≤|

0

1N

a|+1，即{

n

a}有界.

然后设a≤

n

a≤b，我们可用如下方法取得{

n

a}的一个单调子列{

k

n

a}，

（1）取{

k

n

a}{

n

a}，这样就使得[a,

k

n

a]或[

k

n

a,b]中都含有无穷多的{

n

a}的项.

（2）在[a,

k

n

a]或[

k

n

a,b]的区间中取

1

k

n

a∈{

n

a}且满足条件（1），并且让1

kk

nn.

（3）在取顶时要保持方向的一致性，即要么由ab，要么由ba，这时通过数列{

n

a}

的性质可知，以上三点可以做到，这样取出的一个数列{

k

n

a}{

n

a}，且{

k

n

a}是一个单调

有界数列，由此可知该数列必存在极限，设该极限值为a.

接下来要证明的是数列{

n

a}收敛于a.

由于lim

k

n

n

aa



，则对于任意给定的ε>0，都存在正整数K，在当k>K时存在

|

k

n

a-a|<

2



.且由于{

k

n

a}为柯西数列，因而存在正整数N，当n,m>N时|

n

a-

m

a|<

2



.取

0

n=max(k+1,N+1)时，有

0

n≥1

k

n>N和

0

n>k+l>k，所以当n>N时，|

n

a-a|≤

|

n

a-

0

n

n

a|+|

0

n

n

a-a|<ε，由此可知{

n

a}收敛于a.通过必要性及充分性的证明可知数列{

n

a}收

敛的充分必要条件为{

n

a}为柯西数列.

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题.柯西准则的条件称为柯西条

----

-.总结资料

件，它反映这样的事实:收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的

任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或者形象地说，收敛数列的各项越

到后面越是“挤”在一起.另外，柯西收敛准则把N定义中的

n

a与a的关系换成了

n

a

与

m

a的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴

别其（收）敛（发）散性.

2.3以单调有界定理证明致密性定理

致密性定理：有界数列必含有收敛子列.

下面通过单调有界定理来证明该定理，先要证明的是有界数列必含有单调子列.

首先设{

n

a}为有界数列，记

n

a=sup{

n

a,

1n

a,…}，

n

a=inf{

n

a,

1n

a…}，

下证{

n

a}为递减有界数列，{

n

a}为递增有界数列.

由定义知

n

a=sup{

n

a，

1n

a，…},

1n

a



=sup{

1n

a,

2n

a



，…}而

n

a=inf{

n

a,

1n

a,…}，

1n

a=inf{

1n

a,

2n

a



，…},因为{

1n

a,

2n

a



，…}{

n

a,

1n

a



,…},所以n∈N



，则存在

1n

a



≤

n

a及

1n

a≥

n

a，即为{

n

a}递减数列，为{

n

a}递增数列，又因为{

n

a}为有界数列，{

n

a}及{

n

a}为

其子列，所以{

n

a}及{

n

a}也是有界数列，即{

n

a}为递减有界数列，为{

n

a}递增有界数列.

以上是对致密性的证明，致密性定理在很多方面都有应用，如用它证数列的柯西收

敛准则中的充分性，在此不给以证明.

2.4以单调有界数列证明有限覆盖定理

有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间

来覆盖[a,b].

下面用单调有界数列来进行证明，具体证明如下：

用反证法：假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间的覆盖[a,b].将[a,b]

----

-.总结资料

等分为两个子区间，则在这两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来

覆盖，将这个子区间记为[

1

a,

1

b]，则[

1

a,

1

b]包含于[a,b]，且

1

b-

1

a=

1

()

2

ba

.再讲等分为

两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子

区间为[

2

a

,

2

b][

1

a,

1

b]，且

22

2

1

()

2

baba

.

接着讲上述的步骤重复进行就可以得到一个闭区间列{[

nn

ab]}，所以得出{

n

a}为递增

有界数列，然后根据单调有界数列可知{

n

a}存在极限ξ，同理可得递减有界数列{

n

b}也

存在极限且limlim

nn

nn

ba



.

通过上述的证明可知{

n

a，

n

b}只需要H中的一个开区间

(,)就能覆盖，这与挑选

{

n

a，

n

b}时的假设“不能用H中有限个开区间的覆盖”矛盾，由此可知当H为闭区间[a,b]

的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].

注：此定理只对闭区间[a,b]成立，而对开区间则不一定成立.例如，开区间集合

1

(,1)

1n









(1,2,3)n构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间

盖住(0,1).

2.5级数的敛散性

在高等数学中，如何判别级数的敛散性，我们一般采用达郎贝尔判别法，柯西判别

法，比较原则等.然而这些方法在解决某些级数的敛散性问题时，有时显得不那么方便，

不那么有力，为此将以单调有界原理为基础给出一个应用广泛，行之相当有效的定理，

并就此定理及其应用展开讨论.

定理：若（I）f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(x)为非负函数，

（II）

1

1

()()(1,2,3)

n

n

n

k

afkfxdxn





，

----

-.总结资料

则（1）0(1)()

n

afnZ,

（2）

1

(1,2,3)

nn

aan



,

（3）

n

a收敛记lim

n

n

a



,

（4）

0(1)f

,

（5）(0,)

nnn

an,

（6）

1

1

()()(0,)

n

n

nn

k

fkfxdxn





,

（7）

1

1

()()

n

n

n

k

fxdxfk





,

（8）

1

()

n

k

fk









收敛1

()nfxdx收敛,

（9）

1

()

n

fn





收敛

1

()fxdx收敛,

单调有界原理：任何有界的单调数列一定有极限.

换言之：（1）若

n

a是递增有上界数列，则

n

a收敛且极限为sup

n

a=

，

即lim

n

n

a



.

（2）若

n

a是递减有下界数列，则

n

a收敛且极限为inf

n

a=β，

即lim

n

n

a



.

有关单调有界原理的证明方法很多，这里我们略去不证.在满足单调有界条件后，运

用单调有界原理处理有些问题是很方便的.更为重要的是由单调有界原理出发可以证明

前面开篇给出的定理.

证明定理分两步进行：

（1）先证

n

a有下界（

1

1

()()

n

n

n

k

afxfxdx





）

----

-.总结资料

(1)(1)(21)0ff

1

1

1

(1)()(1)0affxdxf

(2)(2)(32)ff

2

2

1

(1)(2)()afffxdx

2

1

(1)(21)()(2)0ffxdxf

1

1

()()

n

n

n

k

afxfxdx







(1)(2)()fffn

23

121

(()()())n

n

fxdxfxdxfxdx





1

1

(()())()0

n

k

k

k

fkfxdxfn







这说明

n

a有下界.

（2）再证

n

a单调:

因为

1

1

1

11

11

(()())(()())

nn

nn

nn

kk

aafkfxdxfkfxdx













1

11

(1)()()nnfnfxdxfxdx

1

11

(1)()(()())nnn

n

fnfxdxfxdxfxdx

1(1)()0n

n

fnfxdx



n

a单调递减

1nn

aa





123

(1)0

n

faaaa

因为

n

a单调递减有下界,据单调有界原理

----

-.总结资料



n

a收敛,记lim

n

n

a





(0,)

nnn

an

又由0(1)

n

af0(1)f

从

1

1

()()

n

n

n

k

afkfxdx







可以推出

1

1

()()

n

n

n

n

fnfxdx







1

1

()()

n

n

n

k

fxdxfk







不难得出

1

()

n

k

fk









收敛1

()nfxdx收敛

1

()

n

fn





收敛

1

()fxdx收敛

完成定理的证明后，我们不妨来看一下华师大数学分析上册P46的一个例题：

例1：设

111

11,2,3

23n

an

n



,这里实数α≥2，证明{

n

a}收敛.

书中是这样证明的：

因为{

n

a}递增

又

222

111

1

23n

a

n



1111

1

122334(1)nn





11111

1(1)()()

2231nn





1

22(1,2,3)n

n



于是由单调有界定理{

n

a}收敛.

显然，在α≥2时用上述方法证明是完全可取的，但如果问当0<α<2时，α≤0时

----

-.总结资料

{an}的敛散性，书中的方法就显得力不从心了.那么若运用前面给出的定理，这一问题将

迎刃而解.

例2.设

111

11,2,3

23n

ppp

anpR

n



,证明:{

n

a}当p>1时收敛，当p≤1时发

散.

（I）当p=1时

111

1

23n

a

n



即是我们常见的调和级数，它是发散的.运用定理，

同样可以判断它是发散的.

因为

1

()fx

x

在[1,+∞)单调递减且非负

1

1

()()

n

n

n

k

Afkfxdx





极限存在记lim

n

n

A





1

1

()()

n

n

nn

k

afkfxdx







又

11

1

()lnnnfxdxdxn

x



当n→∞时，

1

()lnnfxdxn是发散的，所以lim

n

n

a





即{

n

a}在p=1时是发散的

取

1

()

p

fx

x

在[1,+∞)，p>0时是递减的且非负，

1

1

()()

n

n

n

k

Afkfxdx





极限存在记

为lim

n

n

A



，

11

1111

()1

23

nn

n

pppp

kk

afk

kn





=

1

()n

n

fxdx.

（II）当p>1时

1

1n

nn

p

adx

x



因为11

1

1

1111

111

n

pnp

p

dxxn

xppp





，且p>1，所以当n→∞时，

有

1

1

1111

11

n

pp

dx

xppn





趋于

1

1p

----

-.总结资料

即

1

1n

p

dx

x

收敛

1

()

n

n

k

afk



在p>1时收敛.

（III）当0

1

1n

nn

p

adx

x



因为11

1

1

1111

111

n

pnp

p

dxxn

xppp





，且0

有

1

1

1111

11

n

pp

dx

xppn





发散，

即

1

()

n

n

k

afk



在0

（IV）当p≤0时{

n

a}是单调递增无上界lim

n

n

a



,所以是发散的.

通过对例2的讨论，我们可以看出运用定理不仅解决了α≥2的情况而且当α<2

的情况也清楚了.从中不难发现运用定理将级数敛散性问题转化为积分与数列的敛散性

问题，从而降低了难度，也使许多问题归纳成系统.所以在今后判断敛散性问题上，可依

据题意要求灵活运用定理加以判断.

3.总结

单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列及函数的

收敛性，并且单调有界定理与实数完备性也密切相关.以上通过利用单调有界定理在实数

完备性中的应用，即运用单调有界定理证明了实数完备性的几大定理（区间套定理、柯

西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理）;同时在数列的单调有界定理基础上，利用非

负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对

方的敛散性，并推广应用之.

参考文献

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-.总结资料

[1]胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法[J].中国校外教育,2008,(3).

[2]马爱江.单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明[J].XX教育学院学报，

2004，（55-57).

[3]华东师大学数学系编.数学分析（上，下）[M].高等教育.

[4]闫彦宗,海鸿,岳晓红.可积性与原函数存在性的关系[J];师学院学报(自然科学版)，2006

年02期.

[5]华东师大学数学系，数学分析第三版[M]，：高等教育，2001:52-63.

[6]EastChinanoemaluniversitymathenaticsEd,[J],Mathematicalanalysisofhigher

education,2001.

[7]孔荣，用有限覆盖定理直接证明关于实数的其它几个定理[J]，师专学报，1982（02）.

致：感我的导师方爱香老师，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的

榜样,在这里请接受我诚挚的意！