台体体积公式

台体表面积及体积公式推导

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1设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相

似比为ｒ:R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x,则R·x－ｒ·ｘ＝h，则x=ｈ/(Ｒ

－r)。

而圆台的体积=大圆锥的体积-小圆锥的体积=（1/3)·π·R＾2·Ｒ·x－(1／3)·π·r^2·r·x=

（1/3）·π·（R^3－r^3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝(1／3）·π·（R＾3-r^3）·[h/

（R-r）],利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积=(1/3)·πh·（R^２＋R·ｒ＋ｒ

^2）。

２圆台侧面展开，就是一个大的扇形挖掉一个小的扇形假设:大的扇形，半径是A，小的扇

形，半径是aﻫ那么他们对应的圆心角是一样的，也就是2πｒ/a=２πR/Ａ＝θﻫ所以(2πR－2πr)/

（A-ａ)=θ也成立，这是由比例式性质得到的ﻫ这里A-a=L，也就是侧面母线长度,那么(２

πR-2πr)/L=θﻫ所以a=(2πｒ)/θ=rL／(R－r)Ａ=(2πR)/θ＝RL／（Ｒ-r)

小扇形的面积S1=0.5*θa＾2大扇形的面积Ｓ2＝０.5*θA^２ﻫ相减得到：侧面积=０.５

*θ(A+a)(A-ａ）=０.5*[(2πR-2πr)/L]*(R＋ｒ）L/（Ｒ-ｒ)*Lﻫ最后整理一下，正好得到:侧

面积=π(ＲL+rL)

两个底面面积很简单,就不说了最后三部分加起来，就是

Ｓ=π(R²+r²＋

RL+rL)