振荡间断点

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函数间断点求法两个基本步骤

1、间断点〔不连续点〕的判断

在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起

看一下教材上间断点的定义：

2、间断点类型的判断

找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限

情况来划分：

〔1〕第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：

①可去间断点：左右极限存在且相等；

②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．

〔2〕第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，

有以下两种形式的第二类间断点：

①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．

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②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在．

▪间断点：

x

0

是f(x)的间断点，f(x)在x

0

点处的左右极限都存在为第一类间断点.

f(x)在x

0

点处左右极限至少有一个不存在，则x

0

是f(x)的第二类间断点.

第一类间断点中{

可去间断点：左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.

下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：

函数的间断点

一、函数的间断点

设函数xf在点

0

x的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数xf有以下三种

情形之一：

1．在

0

xx没有定义；

2．虽在

0

xx有定义，但xf

xx

0

lim



不存在；

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y

在间断

x

1

⑤

1

1





x

y

。 ，





1

1

lim1

1x

x

x

3．虽在

0

xx有定义，且xf

xx

0

lim



存在，但

0

0

limxfxf

xx





；

则函数xf在点

0

x为不连续，而点

0

x称为函数xf的不连续点或间断点．

下面我们来观察下述几个函数的曲线在

1x

点的情况，给出间断点的分类：

在

1x

连续．在

1x

间断，

1x

极限为2．

在

1x

间断，

1x

极限为2．在

1x

间断，

1x

左极限为2，右极限为1．

在

0x

间断，

0x

极限不存在．

像②③④这样在

0

x点左右极限都存在

的间断，称为第一类间断，其中极限存在的

②③称作第一类间断的可补间断，此时只要

令21y，则在

1x

函数就变成连续的了；

④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥

称作震荡间断．

就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果

0

x是函数xf的间断点，但左极限

y

x1

1

2

1

①

1xy

y

x1

1

2

1

②

1

12







x

x

y

③













11

11

x

xx

y

，

，

y

x1

1

2

1

④













1

11

xx

xx

y

，

，

y

x1

1

2

1

⑥

x

y

1

sin

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0

0

xf及右极限0

0

xf都存在，那么

0

x称为函数xf的第一类间断点．不是第一类

间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去

间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．

例1确定a、b使在处连续．

解：在处连续

因为；；

所以时，在处连续．

例2求以下函数的间断点并进行分类

1、

分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限．

解：因为，但在处没有定义

所以是第一类可去间断点．

2、

分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限．

解：因为，而

所以是第一类可去间断点．

总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间

断点处连续．

3、

分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右

极限．























0,

1

sin

0,

0,

sin

)(

xb

x

x

xa

x

x

x

xf

0x

)(xf

0x

)(lim

0

xf

x

)(lim

0

xf

x



)0(f

bb

x

xxf

xx



















1

sinlim)(lim

00

1

sin

lim)(lim

00



x

x

xf

xxaf)0(

1ba

)(xf

0x

1

1

)(

2







x

x

xf

1x

2)1(lim

1

1

lim

1

2

1









x

x

x

xx)(xf

1x

1x

















.0,1

,0,

1

sin

)(

x

x

x

x

xf

0x

0

1

sinlim

0



x

x

x1)0(f

0x

)(xf

0

x

)(lim

0

xf

xx

0

x













.0,1

,0,1

)(

xx

xx

xf

0x

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解：因为；

所以是第一类跳跃间断点．

4、

分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．

解：因为；

所以是第一类跳跃间断点．

5、

解：因为

所以是第二类无穷间断点

6、

解：极限不存在

所以是第二类振荡间断点

7、求的间断点，并将其分类．

解：间断点：

当时，因，故是可去间断点．

当时，因，故是无穷

间断点．

小结与思考：

本节介绍了函数的连续性，间断点的分类．

1、求

分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断．

1)1(lim)(lim

00





xxf

xx

1)1(lim)(lim

00





xxf

xx

0x

x

xf

1

arctan)(

0x

2

1

arctanlim)(lim

00





x

xf

xx2

1

arctanlim)(lim

00





x

xf

xx

0x

xexf

1

)(





x

xx

exf

1

00

lim)(lim

0x

x

xf

1

sin)(

x

xf

xx

1

sinlim)(lim

00



0x

x

x

xf

sin

)(

),2,1,0(kkx

0x

1

sin

lim

0



x

x

x0x

),2,1(kkx



x

x

kxsin

lim

),2,1(kkx

n

nx

x

xf

21

1

lim)(









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解：因为；

所以是第一类跳跃间断点

因为；；

所以是连续点．

























.1,0

1,1

1,0

11,1

)(

x

x

x

xx

xf

00lim)(lim

11



xx

xf2)1(lim)(lim

11





xxf

xx

1x

0)1(lim)(lim

11





xxf

xx

00lim)(lim

11



xx

xf

0)1(f

1x