空间向量夹角公式

空间向量知识点

空间向量的有关概念和公式

概念空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间

如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。

坐标

表示

OA

uuur

111

(,,)axyz

r

，OB

uuur

222

(,,)bxyz

r

,

212121

(,,)ABxxyyzz

uuur

．ABBA

uuuruuur

运算

则

121212

(,,)abxxyyzz

rr

，

121212

(,,)abxxyyzz

rr

，

111

(,,)()axyzR

r

，

121212

||||cos,abababxxyyzz

rrrrrr

，

定比

分点

公式

设点P分有向线段所成的比为λ，即

1

PP

uuur

＝λ

2

PP

uuur

，

12

1

xx

x











，12

1

yy

y











，12

1

zz

z











（1R且）

中点公式：12

2

xx

x



，12

2

yy

y



，12

2

zz

z





三角形重心公式：123

3

xxx

x



，123

3

yyy

y



，123

3

zzz

z





模

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，则

212121

(,,)ABxxyyzz

uuur

||AB

uuur

=2

21

2

21

2

21

)()()(zzyyxx

a

r

=(,,)xyz；

||a

r

=222xyz；2||a

r

=

2a

r

;

||a

r

=a

r

平行

112233

//,,()ababababR

rr

，

（或1

2

x

x

=1

2

y

y

=1

2

z

z

）

垂直

112233

0abxxyyzz

rr

．（

0,0ab

rrrr

）

夹角

cos=

||||

ab

ab



rur

rr

=112233

222222

111222

xxyyzz

xyzxyz





●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻

边为x轴，

y

轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x轴，

y

轴；3、

底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x轴，

y

轴；4、底面为平

行四边形，常以一条边为x轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为

y

轴。

空间向量的应用（1）

n

C

B

A

α

n

B

A

α

n2n1

β

α

O

P

a

F

b

E

α

n

n

P

θ

O

A

α

方法分类图形

1、求平面的法向量

若),,(

111

zyxAB，),,(

222

zyxAC，

，AABAC

),,(,,zyxnACAB



设是平面的法向量，

则



























0

0

0

0

222

111

zzyyxx

zzyyxx

ACn

ABn





（取

0

xx，得到其中的一组解：),,(

000

zyxn



而

000

,,zyx常取简单整数）

2、证明线面平行

设n



是平面的法向量，AB

，则：

0||nABAB





3、证明面面垂直

设

21

,nn



分别是平面,的法向量,则：

0

21

nn





4、求两条异面直线间的距离

先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上

两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a



、b



是异面直

线，n



是a



、b



的公共法向量，点

bFaE





,

，则异面直

线a



、b



之间的距离

n

nEF

d









5、求点到平面的距离

设P为平面



外一点，点A为平面



内的任一点，平面



的法向量为n



，过点P作平面



的垂线PO，记

OPA，则点P到平面的距离：

n

PAn

PAn

PAn

PAPAPOd

















cos

因此，点P到平面



的距离：

n

PAn

d









空间向量的应用（2）

方法图形

A

D

B

C

α

n

θ

P

O

A

α

n2n1

n1

θ

β

α

ι

β

A

C

D

B

α

6、求直线和直线所成的角

若直线CDAB,所成的角是，

CDAB

CDAB

CDAB





,coscos

7、求直线和平面所成的角

已知PA为平面的一条斜线，n



为平面的一个法向

量，过P作平面的垂线PO，连结OA，则PAO为

斜线PA和平面所成的角，记为，易得

PAn

PAn

APnAPOP













,cos,cossin

8、已知两平面的法向量,求二面角的大小

在二面角中l，

1

n和

2

n分别为平面和的法

向量，若二面角l的大小为，则：

21

21

21

,coscos

nn

nn

nn











(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定是锐角

或是钝角)

8、已知二面角棱的两垂线,求二面角的大小

在二面角l内，CDlABAB,,，

,lCD设为二面角l的大小，则：

CDAB

CDAB

CDAB





,coscos