乙都

2022年高考全国乙卷理科数学试题

2022年全国乙卷适用的省份有11个：江西、安徽、河南、山西、陕西、青海、甘肃、宁夏、

内蒙古、吉林、黑龙江。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．设全集{1,2,3,4,5}U，集合M满足{1,3}

U

M，则（）

A．2MB．3MC．4MD．5M

2．已知12iz，且0zazb，其中a，b为实数，则（）

A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab

3．已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab，则ab（）

A．2B．1C．1D．2

4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的

人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列

n

b：

1

1

1

1b



，

2

1

2

1

1

1

b









，

3

1

2

3

1

1

1

1

b













，…，依此类推，其中(1,2,)

k

kN．则

（）

A．

15

bbB．

38

bbC．

62

bbD．

47

bb

5．设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若||||AFBF，则||AB

（）

A．2B．22C．3D．

32

6．执行下边的程序框图，输出的

n

（）

A．3B．4C．5D．6

7．在正方体

1111

ABCDABCD中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）

A．平面

1

BEF平面

1

BDDB．平面

1

BEF平面

1

ABD

C．平面

1

BEF∥平面

1

AACD．平面

1

BEF∥平面

11

ACD

8．已知等比数列

n

a的前3项和为168，

25

42aa，则

6

a（）

A．14B．12C．6D．3

9．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四

棱锥的体积最大时，其高为（）

A．

1

3

B．

1

2

C．

3

3

D．

2

2

10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为

123

,,ppp，且

321

0ppp．记该棋手连胜两盘的概率

为p，则（）

A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11．双曲线C的两个焦点为

12

,FF，以C的实轴为直径的圆记为D，过

1

F作D的切线与C交

于M，N两点，且

12

3

cos

5

FNF，则C的离心率为（）

A．

5

2

B．

3

2

C．

13

2

D．

17

2

12．已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若

()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则

22

1

()

k

fk



（）

A．21B．22C．23D．24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

____________．

14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

15．记函数()cos()(0,0)fxx的最小正周期为T，若

3

()

2

fT，

9

x





为()fx的零点，则



的最小值为____________．

16．己知

1

xx和

2

xx分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大

值点．若

12

xx，则a的取值范围是____________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

记ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．

（1）证明：2222abc；

（2）若

25

5,cos

31

aA，求ABC△的周长．

18．（2分）

如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．

（1）证明：平面BED平面ACD；

（2）设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与

平面ABD所成的角的正弦值．

19．（12分）

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积

量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单

位：3m），得到如下数据：

样本号i总和

根部横截

面积

i

x

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量

i

y

0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并计算得

101010

22

iiii

i=1i=1i=1

0.038,1.6158,0.2474xyxy．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该

林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数

i

=1

22

=1=1

()()

,1.89617

()

7

()

.3

n

i

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

















．

20．（12分）

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

3

0,2,,1

2

AB











两点．

（1）求E的方程；

（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点

T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．

21．（12分）

已知函数ln1exfxxax.

（1）当1a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；

（2）若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．

（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的

第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

3cos2,

2sin

xt

yt















（t为参数）．以坐标原点

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为

sin0

3

m













．

（1）写出l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c都是正数，且

333

2221abc，证明：

（1）

1

9

abc；

（2）

1

2

abc

bcacab

abc





．

全国乙卷理科数学解析