三角函数半角公式

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三角函数公式大全

三角函数定义

锐角三角函数任意角三角函数

图形

直

角三角形

任

意角三角函数

正弦（sin）

余弦（cos）

正切（tan或

tg）

余切（cot或

ctg）

正割（c）

余割（csc）

函数关系

倒数关系：

商数关系：

平方关系：

．

诱导公式

公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

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公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：

公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：

公式四：与的三角函数值之间的关系：

公式五：与的三角函数值之间的关系：

公式六：及与的三角函数值之间的关系：

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记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变

正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时

原三角函数值的符号；

(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切

------------------奇变偶不变

根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角

（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的

函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，

就得到了诱导公式二．

以诱导公式四为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终

边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的

三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负

值．这样，就得到了诱导公式四．

诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角

的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要

最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

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基本公式

和差角公式

二角和差公式

证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)

相同．

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三角和公式

和差化积

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

积化和差

倍角公式

二倍角公式

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三倍角公式

证明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin^2a·cosa+cos^2a·sina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos^2acosa-sin^2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]

cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)

tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)

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五倍角公式

n倍角公式

应用欧拉公式：

.

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以，

n倍角的三角函数

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半角公式

（正负由所在的象限决定）

万能公式

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辅助角公式

．

证明：

由于

，显然，且

故有：

三角形定理

正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：

正弦定理变形可得：

余弦定理

同理，也可描述为：

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勾股定理是余弦定理的特例。

当为时，，余弦定理可简化为

，即勾股定理。