b是什么元素

让更多的孩子得到更好的教育

1

函数及其表示方法B

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同

的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

学习策略：

通过实例用对应的观点来理解函数，用映射的观点理解函数.

函数的三种表示方法各有优点，应多注意图象法，“以形助数”和“以数辅形”

二、学习与应用

初中学习函数的定义：一般地，在一个过程中，如果有两个x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都

有的值与其对应，那么我们就说x是，y是x的.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自

变量的值为a时的.

“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

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2

要点一：函数的概念

1

．函数的定义

设

A

、

B

是非空的集，如果按照某个确定的对应关系

f

，使对于集合

A

中的一个数

x

，在集合

B

中都有的数

f(x)

和它对应，那么

就称

f:A→B

为从集合

A

到集合

B

的一个函数

.

记作：

y=f(x)

，

xA

．

其中，

x

叫做自变量，

x

的取值范围

A

叫做函数的；与

x

的值相对应的

y

值叫做函数值，函数值的集合

{f(x)|xA

叫做函数的

.

要点诠释：

（1）A、B集合的性；（2）对应关系的性、性、

性；（3）A中元素的性；（4）B中元素的性。

2

．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域

.

由于值域是由定义域和对应关系

决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全

—

致，即称这两个函数

(

或为同一函数

)

；

②两个函数相等当且仅当它们的和完全

—

致，而与表示自变量

和函数值的字母无关

.

3

．区间的概念

（

1

）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（

2

）无穷区间；

（

3

）区间的数轴表示．

区间表示：

；

{x|a≤x≤b}=

；

{|}xaxb

；；

{|}xaxb

{|}xaxb

要点梳理——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听

课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：

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3

；.

{|}xxb{|}xax

要点二：函数的表示法

1

．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数

值

.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋

势

.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数

值

.

2

．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大

括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

要点三：映射与函数

1.

映射定义：

设A、B是两个，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的一

个元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为

f：A→B.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的

元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

要点诠释：

（1）A中的每一个元素都有，且；

（2）B中的元素未必有，即使有，也未必；

（3）a的象记为.

2..函数与映射的区别与联系：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A

到集合B的函数，记为y=f(x).

要点诠释：

（

1

）函数一定是，映射不一定是；

（

2

）函数三要素：、、；

（

3

）

B

中的元素未必有，即使有原象，也未必；

（4）原象集合=域，域=象集合.

3.函数定义域的求法

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4

(1)确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式的自变量的

取值的集合.具体地讲，就是考虑，偶次根号的，

零次幂的以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

（2）抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用f（x）表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的

定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么

字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

要点诠释：

求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个

集合，其结果必须用或来表示.

4.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，

值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的

图象的“”和“”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，

利用求的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于

一些“”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，

从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、

数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域

对值域的制约.

典型例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完

成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID：

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5

类型一：函数的概念

例1.已知集合，，则从到的函数有个.1,2,3A4,5BAB()fx

【答案】

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？R

（1）；:fx

2

,0,xxR

x

（2），；:gxy2,,yxxNyR

（3），对任意的.:h*ABN

,xA|3|xx

【解析】（1）

（2）

（3）

例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？

（1）；0()(1)fxx()1gx

（2）；()fxx2()gxx

（3）；2()fxx2()(1)gxx

（4）；()||fxx2()gxx

让更多的孩子得到更好的教育

6

【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，

否则等号不成立.

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

【总结升华】

举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与是同一函数；

21

1







x

y

x

(2)与y=|x|是同一函数；2yx

(3)是同一函数；32

3()()与yxyx

(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.

2

2

(0)

()

(0)

















xxx

fx

xxx

【解析】

类型二：函数定义域的求法

例3.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；(2)； (3).

2

-1

()

-3



x

fx

x

()3-8fxx

1

()1-

4





fxx

x

【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.(1)是分式，

只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即

可．

【答案】

【解析】

（1）

让更多的孩子得到更好的教育

7

（2）

（3）

【总结升华】

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：

(1)；(2)；（3）.

3

()

|1|2





fx

x

1

()3

1





fxx

x

()1fxxx

【答案】

【解析】（1）

（2）

【总结升华】小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是集合；

(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

例4.（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；()fx(21)yfx

（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；(21)yfx()fx

（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.(21)yfx(21)yfx

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8

【思路点拨】（1）若的定义域为，则在中，()fxaxb≤≤()fgx

，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义()agxb≤≤x()fgx()fgx

域为，则由确定的的范围即为的定义域．mxn≤≤mxn≤≤()gx()fx

【答案】

【解析】（1）

（2）

（3）

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知的定义域为，求的定义域.(1)fx2,3

1

(2)f

x

【答案】

【解析】

例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.

3

2

1

43







ax

y

axax

Ra

【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程axR2430axax

无实根.2430axax

【答案】

【解析】

.

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9

【总结升华】

类型三：求函数的值及值域

例6.已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的

函数值，其它同理可得．

【答案】

【解析】

【总结升华】

例7.求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；4,1x2,3x

.2

-2

(2)()-23;(3)()

3





x

fxxxfx

x

【答案】

【解析】(1)法一：

法二：

【总结升华】

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10

举一反三：

【变式1】求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；（4）。1yx

21

3







x

y

x

2

2

1

1







x

y

x

254yxx

【答案】

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

类型四：映射与函数

例8.判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？

（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的,xRyR

点与B中的（x，y）对应。

（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；

（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；

（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：2xyx

（5）A={0，1，2}，B={0，1，}，对应法则是f：

1

2

1

xy

x

【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．

【解析】

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11

【总结升华】

举一反三：

【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A

到B的函数吗？

(1)A=N，B={1，-1}，f：xy=(-1)x；

(2)A=N，B=N

+

，f：xy=|x-3|；

(3)A=R，B=R，

1

:;

1







x

fxy

x

(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；

(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.

【答案】

类型五：函数解析式的求法

例9.求函数的解析式

(1)已知是二次函数，且，求；()fx(0)2,(1)()1ffxfxx()fx

(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

（3）已知，求.3()2()3fxfxx()fx

【答案】

【解析】

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12

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)。

【答案】

【解析】

【总结升华】

类型六：函数的图象

例10.作出下列函数的图象.

（1）；（2）；（3）。1({21012})yxx，，，，

21

1







x

y

x

2|2|1yxx

【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图

象的平移、对称和翻折得到要求的图象。

【解析】

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13

类型七：分段函数

例11.设函数求.

3,100,

()

[(5)],100,













xx

fx

ffxx

(89)f

【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换.

【答案】

【解析】

【总结升华】

例12．如图所示，等腰梯形的两底分别为，作ABCD02,,45ADaBCaBAD

直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线MNADADMABCDN,AMxABCD

左侧的面积表示为的函数.MNyx

【思路点拨】此题是应用型问题，要求函

数的表达式，这样就需准确揭示()yfx

之间的变化关系.依题意，可知随着直线,xy

的移动，点分别落在梯形的边MNNABCD

、及边上，有三种情况，所以需要分类解答.ABBCCD

【答案】

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14

【解析】

【总结升华】

举一反三：

【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线ABCDPBCDA

由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.BAPxAPBy

（1）求与之间的函数关系式；yx

（2）画出的图象.()yfx

【解析】

P

DC

AB

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三、测评与总结

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们

巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．

知识点：函数及其表示方法

测评系统分数：模拟考试系统分数：

如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID：#6425#390396进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网

校资源ID：#6518#390400进行能力提升．

我的收获

习题整理

题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的

测试．

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整

理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．

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16

好题

错题

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．

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17

○网○校○重○要○资○源

知识导学：函数及其表示方法（提高）（#390400）

高清课堂：函数的概念与定义域（#356673）

对本知识的学案导学的使用率：

□好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）

□中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）

□弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________家长：______________指导教师：_________________

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请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．