浓盐酸和二氧化锰

浓盐酸的使用方案的设计

高一（2）班任正

一，模型背景

化学课上学习卤素的时候，老师安排我们在实验室做制取氯气的实验以便更好的了

解氯气的物理性质及其化学性质。制取氯气的基本方法如下：用浓盐酸和二氧化锰在加

热的条件下反应。(4HCl+MnO2=MnCl2+2Cl2+2H2O)。然而当我们在做这个实验的时候，

却意外地发现反应无明显现象，集气瓶中并没有像预计的那样出现黄绿色的气体（氯

气）。于是我们开始寻找导致这种现象的原因，在化学老师的指导下，我们发现，原来

试剂瓶中的浓盐酸已经不再具有原来的浓度，原因是在我们做实验前已经有其他的同学

做过这个实验，而他们同样是从这个试剂瓶中取用了浓盐酸。大家知道，浓盐酸具有很

强的挥发性，如果时间太长或是在取用的过程中不注意将瓶塞及时塞上，那么就无法保

证浓盐酸原有的浓度。经过分析，这次实验的失败是因为在取用浓盐酸的过程中没有采

取应有的措施来减小浓盐酸的挥发量。于是我们进一步思考，是不是有更好的取用方法

呢？

我们注意到，实验员在准备这次学生实验前采取了这样的方法：先了解了一下当天

需要操作这项实验的班级数量，然后根据数量在每一张实验桌上放了总共需要的浓盐

酸。这意味着在某一个班级实验完毕之后无须再去配置该浓度的盐酸，即一次实验以后

瓶中剩余的盐酸仍然可以供下一次的实验使用。这就容易出现我们遇到的情况：在实验

前，瓶中的盐酸因为多次的开启而增加了挥发，浓度相应的降低导致实验成功的可能性

降低。

二，模型的假设和推理

按照我们所遇到的情况来分析，我们很容易就会产生这样的思考：既然盐酸的挥发

量大

多由于试剂瓶开启的次数过多，那么就可以设法减少开启的次数。最理想的当然是每次

实验前配置该种浓度的盐酸，需要多少就配多少，然后在实验过程中将其用完。但这并

不现实，没有人能确定反应中需要的量，即使通过一定的计算与实际用量总有一定的差

距，实验员也不可能在每次实验过程中配制盐酸。但我们要解决的是如何尽可能减小浓

度的差异，现在开瓶的次数一定，因为实验次数是确定的。所以我们有必要对盐酸配制

完成后的保存方法进行研究。既然实验员将总共需要的盐酸保存在一个容积较大的试剂

瓶中，那么如果增加试剂瓶的数量，而使用容积稍小的试剂瓶结果会怎样呢？

我们从最简单的情况开始考虑，假设总共需要盐酸质量为Ｍ，分装在两个规格相同

的试剂瓶中，每次取用ｍ，假定每瓶均整数次取完，每次取用时间相同，每单位质量挥

发量为Ｐ。我们计算一下从第一次取用到最后一次盐酸挥发的总量Ｗ【每瓶挥发量为（１

／２）Ｗ】：

每瓶含有盐酸的质量Ｍ／２，

第一次取用挥发：Ｐ×Ｍ／２

第二次取用挥发：Ｐ×（Ｍ／２－ｍ）

第三次取用挥发：Ｐ×（Ｍ／２－２ｍ）

依次类推，可知最后一次挥发：Ｐ［Ｍ／２－（Ｍ／２ｍ－１）ｍ］

这样，我们就有能力对挥发量进行求和，这组数据中存在等差数列：

ｍ，２ｍ，……，（Ｍ／２ｍ－１）ｍ

所以（１／２）Ｗ＝（ＰＭ／２）×（Ｍ／２ｍ）－Ｐｍ［１＋２＋……

＋（Ｍ－２ｍ）／２ｍ］

＝ＰＭ（Ｍ＋２ｍ）／８ｍ

Ｗ＝ＰＭ（Ｍ＋２ｍ）／４ｍ。

如果将质量为Ｍ的盐酸装在一个试剂瓶中，同样，我们可以对挥发的总量进行计算，

条件与上述相同，即假定整数次取完，每次取用时间相同，每单位质量挥发量为Ｐ。

第一次取用挥发：Ｐ×Ｍ

第二次取用挥发：Ｐ×（Ｍ－ｍ）

第三次取用挥发：Ｐ×（Ｍ－２ｍ）

依次类推，可知最后一次挥发：Ｐ×ｍ＝Ｐ×［Ｍ－（Ｍ／ｍ－１）ｍ］

我们同样抽取其中的等差数列：

ｍ，２ｍ，……，（Ｍ／ｍ－１）ｍ

所以Ｗ＝ＰＭ＋Ｐ（Ｍ－ｍ）＋Ｐ（Ｍ－２ｍ）＋……＋Ｐ［Ｍ－（Ｍ／ｍ－１）

ｍ］

＝ＰＭ（Ｍ／ｍ）－ＰＭ［１＋２＋……＋（Ｍ－ｍ）／ｍ］

＝ＰＭ（Ｍ＋ｍ）／２ｍ

我们对两次求得的挥发量作差：

ＰＭ（Ｍ＋２ｍ）／４ｍ－ＰＭ（Ｍ＋ｍ）／２ｍ

＝ＰＭ［（Ｍ＋２ｍ－２Ｍ－２ｍ）／４ｍ］

＝ＰＭ（－Ｍ）／４ｍ

因为Ｍ>0，所以PM（－Ｍ）／４ｍ＜０，即两瓶分装的挥发量小于一瓶装的挥发

量。由此我们可以得到初步的结论：同样浓度的盐酸，分装在两个试剂瓶中可以有

效地减少在使用过程中的挥发总量。

三，模型的深入分析：

我们在上述过程中运用到了数列求和的知识，化归到最简单的等差数列求和，从而

得出了上述结论。然而这是否具有普遍意义呢？

为了说明这个问题，我们可以构造这样一个命题：浓盐酸总质量为Ｍ，每单位质量

单位时间（即每次取用的时间）挥发量相同均为Ｐ，每次均取用ｍ，用ｋ瓶装的挥发总

量大于用ｋ＋１瓶装的挥发总量，依然规定均是整数次取完。

现在我们来证明这个命题，如果命题得到证明为真，那么我们将有可能提出一个新

的盐酸取用方案。

每瓶盐酸的质量分别为Ｍ／ｋ，Ｍ／（ｋ＋１）

Ｗｋ＝ｋ｛ＰＭ／ｋ＋Ｐ（Ｍ／ｋ－ｍ）＋……＋Ｐ［Ｍ／ｋ－（Ｍ／ｋｍ－１）

ｍ］｝

＝ｋ｛Ｐ×（Ｍ／ｋ）×（Ｍ／ｋｍ）－Ｐｍ［１＋２＋……

＋（Ｍ－ｋｍ）／ｋｍ］｝

＝ＰＭ（Ｍ＋ｋｍ）／２ｋｍ

Ｗｋ＋１＝（ｋ＋１）｛ＰＭ／（ｋ＋１）＋Ｐ［Ｍ／（ｋ＋１）－ｍ］＋……

＋Ｐ｛Ｍ／（ｋ＋１）－［Ｍ／（ｋ＋１）ｍ－１］ｍ｝｝

＝ＰＭ（Ｍ＋ｋｍ＋ｍ）／（２ｋ＋２）ｍ

据此我们得到了一个在我们定义的规则下的挥发总量关于试剂瓶个数ｘ的一个函

数

ｆ【ｘ】＝ＰＭ（Ｍ＋ｍｘ）／２ｍｘ

我们判断这个函数的单调性，ｆ【ｘ】＝ＰＭ（Ｍ／２ｍｘ＋１／２）可知单调递

减，因此我们证明了Ｗｋ＞Ｗｋ＋１的结论，即该命题成立。

四，模型的应用

我们通过上述的推证，论证了我们的猜想是正确的。由此我们可以解决我们在实验

中遇到的问题。这就牵涉到一个浓盐酸配制后的保存方法。

我们回到先前的话题，实验员由于把一天内所需要的盐酸装在了一个试剂瓶中，而

导致

后来的实验无法实施。我们现在假设一天内有三个班需要实验，那么实验员配制了

一定量的盐酸应分装在三个试剂瓶中，当然应该先大致考虑每次需要的用量，虽然只是

估计。这样在每次实验的时候学生只需取用其中的一瓶即可，既保证了用量，也保证了

浓度。等下次实验，学生只需开启下一瓶，这样就避免了盐酸的浪费。

然而，我们之前所做的推证只是从理想的取用来考虑问题，事实上每次取用的时间

不可能完全相等，而每次取用的量也不可能相等，所以势必存在一定的误差，但大体上

可以说明试剂瓶的个数多将减少挥发。事实证明，我们的方法是成功的。

通过对这个问题的思考，我们利用数学知识解决了现实生活中的问题，更加深刻地

了解了数学中数列的应用。