根号4

長除式演算法

1

529

,

2

4

1

29

529

,

2

4

129

4b

b

b

長除式演算法求開根號

以下這個演算法是根據：

(10a+b)2=100a2+20ab+b2=100a2+(20×a+b)×b而生的。

給y=(10a+b)2，我們想求得a；b,在此我們先猜測a再由式子

y-100a2＝(20×a+b)×b

去求得b。

長除式演算法：

1.將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,

如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之

後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。

也就是9,87,65.43,20。

以準確至2位小數為例子:

將104.8573得四組,順序為1'04.85'73'。

2.將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）

記下。

3.將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。

4.將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一

步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積。

5.重覆第2步，直到找到答案。

6.可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

範例：求(529)2/1＝？

解法：將529分為兩組，分別為5，29。(第1步)

先猜a為2，因為2的平方為4比5小。(第2步)

529＝(20+b)2＝400+2×20×b＋b2

529–400=(20×2+b)×b(第3、4步)

129＝(40+b)×b

故b=3。

因此(529)2/1=23

長除式演算法

2

522

,

3

9

3

25

1

522

,

3

9

3

25

6b

b

b

1

920

,

4

6

6

09

2

1

920

,

4

6

6

09

8b

b

b

2

1

範例：求(1225)2/1＝？

解法：將1225分為兩組，分別為12，25。(第1步)

先猜a為3，因為3的平方為9比12小。(第2步)

1225＝(30+b)2＝900+2×30×b＋b2

1225–900=(20×3+b)×b(第3、4步)

325＝(60+b)×b

故b=5。

因此(1225)2/1=35

範例：求(2209)2/1＝？

解法：將2209分為兩組，分別為22，09。(第1步)

先猜a為4，因為4的平方為16比22小。(第2步)

2209＝(40+b)2＝1600+2×40×b＋b2

2209–1600=(80+b)×b(第3、4步)

609＝(60+b)×b

故b=7。

因此(2209)2/1=47

長除式演算法

3

251,

1

5

1

1

1

9,

251,

1

5

1

2bb

1

1

9,

b

251,

1

5

1

222

1

1

9,

2

4

4

7

251,

1

5

1

1

1

9,

2

4

4

7

29

251,

1

5

1

4cc

1

1

9,

2

4

4

7

29

2

251,

1

5

1

433

1

1

9,

2

4

4

7

29

2

3

範例：求(15129)2/1＝？

解法：將15129分為三組，分別為1，51，29。(第1步)

先猜a為1，因為1的平方為1最接近又少於1。(第2步)

找b使得(20+b)×b接近51。(第3、4步)

我們取b為2，(20+2)×2＝44

將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。(第3步)

找c使得(20×12+c)×c接近729。(第4步)

我們取c為3，(20×12+3)×3＝729。

長除式演算法

4

200,

2

6

4

5,

2

200,

2

bb

6

4

5,

2

4

00

200,

2

1744

6

4

5,

2

4

4

00

6

200,

2

17

cc

6

4

5,

2

2

48

4

00

6

25

4

6,00,25

4

245

200

176

2425

2425485

5

範例：求(60025)2/1＝？

解法：將60025分為三組，分別為6，00，25。(第1步)

先猜a為2，，因為2的平方為4最接近又少於6。(第2步)

找b使得(40+b)×b接近200。(第3、4步)

我們取b為4，(40+4)×4＝176

將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。(第3步)

找c使得(20×24+c)×c接近2425。(第4步)

我們取c為5，(485+5)×5＝2425。

長除式演算法

5

031,

2

32

7

4

0.

3

2

7

31

9

00

0

162

00,

37

00,

.

00

09

379100

378469

2

2

47

7

+

540

0

5403

3

54067

範例：求(731)2/1＝？