菱形面积公式

菱形（基础）

【学习目标】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行

四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分

成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另

一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线

互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是

在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF

⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的

性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．

【答案与解析】

证明：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAE，CD=BC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．

在Rt△CDF与Rt△CBE中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），

∴DF=BE．

【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相

垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的

距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

举一反三：

【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交

AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．

【答案】50；

解：在菱形ABCD中，

AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，

CD=CB，∠BCO=∠DCO，

∴在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO=50°．

【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()．

A.

2

1

B.4C.1D.2

【答案】C；

提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于

1

2

×2＝1.

类型二、菱形的判定

2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是

菱形吗?试说明理由．

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边

形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．

【答案与解析】

解：四边形DECF是菱形，理由如下：

∵DE∥AC，DF∥BC

∴四边形DECF是平行四边形．

∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2

∵DF∥BC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3．

∴CF＝DF，

∴四边形DECF是菱形．

【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，

再由一对邻边相等来判定它是菱形．

举一反三：

【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，

则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．

【答案】

解：四边形AEDF是菱形，理由如下：

∵EF垂直平分AD，

∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．

∴∠ODF＝∠OAF，

又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，

∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，

同理可得：DE∥AF．

∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF

又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．

∴AEDF是菱形．

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点

G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．

【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形

AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．

【答案与解析】

证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．∴EFAG．

∴四边形AEFG是平行四边形．

又∵AE＝AG，

∴四边形AEFG是菱形．

方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．

在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，

∴△AEG≌△FEG．

∴AG＝FG．

∴AE＝EF＝FG＝AG．

∴四边形AEFG是菱形．

【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．

举一反三：

【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作

AG∥DB交CB的延长线于点G．

(1)求证：DE∥BF；

(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．

【答案】

证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD

∵E、F分别为AB、CD的中点

∴DF＝

1

2

DC，BE＝

1

2

AB

∴DF∥BE．DF＝BE

∴四边形DEBF为平行四边形

∴DE∥BF

(2)证明：∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴△DBC为直角三角形

又∵F为边CD的中点．

∴BF＝

1

2

DC＝DF

又∵四边形DEBF为平行四边形

∴四边形DEBF是菱形

类型三、菱形的应用

4、如图所示，是一种长0.3

m

，宽0.2

m

的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边

BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2

m

，

宽2.8

m

的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?

(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?

【答案与解析】

解：墙壁长4.2

m

，宽2.8

m

，矩形瓷砖长0.3

m

，宽0.2

m

，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2

＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．

(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．

(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一

半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积

的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝

169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．

【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个

数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，

不要忽略周围图形的拼接．