弧度角

练习三弧度制(一)

要点

1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧

度”为单位.

2.度与弧度的相互换算:

10≈弧度,1弧度≈57018/.

3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2kπ

+600,k∈Z},正确的表示方法是x|x=2kπ+

3



,k∈Z}或{x|x=k·3600+600,k∈Z}

同步练习

1.若α=－,则角α的终边在()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

2.①

4



,②－

4

5

,③

4

19

,④－

4

3

,其中终边相同的角是()

(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④

3.若4π<α<6π,且与－

3

2

角的终边相同,则α=_________.

4.正三角形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,正十边形,正n边形的一个内角

的大小分别_____,____,_____,_____,_____,_____,______.(用弧度表示)

5.把下列各角用另一种度量制表示.

⑴1350⑵－67030/⑶2⑷－

6

7

1.将下列各数按从小到大的顺序排列.

Sin40,sin

2

1

,sin300,sin1

2.把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式,并求出在(－2π,4π)内和它终边相

同的角.

(1)－

3

16

π;(2)－6750.

3.若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与

3



角的终边相同的角.

练习四弧度制(二)

要点

1.弧长公式和扇形面积公式:

弧长公式L=|α|r扇形面积公式S=

2

1

Lr=

2

1

|α|r2

其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.

2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用

弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.

同步练习

1.半径为5cm的圆中,弧长为

4

15

cm的圆弧所对的圆心角等于()

(A)1450(B)1350(C)



0135

(D)



0145

2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是()

(A)

3



(B)－

3



(C)

6



(D)－

6



3.半径为4的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是

_________.

4.已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于

___________.

5.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形圆心角的弧度数.

6.2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.

7.一条弦的长度等于其所在圆的半径r.

(1)求这条弦所在的劣弧长;

(2)求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

【数学2】

二、弧度制

第一课时

教学要求：

1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换．

教学过程：

1．为什么要引入新的角的单位弧度制.

（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便；

（2）为了让角的度量结果与实数一一对应.

2．弧度制的定义

先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的.

1弧度角的规定.

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

弧度的单位符号是rad，读作弧度.

如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠

AOC=2rad.

问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？

答：半圆弧长是,,





r

r

r半圆所对的圆心角是弧度.

同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2



弧度.

角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度

数是负数，零角的弧度数是零.

3．弧度制与角度制的互化

因为周角的弧度数是2



，角度是360°，所以有

radrad

radrad

01745.0

180

1

1802360













把上面的关系反过来写

1803602radrad

815730.57)

180

(1



radrad



例1：把

.0367化成弧度



解：.

8

3

5.67

180

5.670367radrad







例2：把rad

5

3

化成角度.108180

5

3

5

3

rad



今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad”通常省略不写，比如

66



就表示rad，

角

.2,2rad等于就是角rad

33

sin



表示角的正弦.

360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度0

6



4



3



2





3

2



4

3



6

5





2

3

2

例3：用弧度制表示

（1）与

3

2

终边相同的角；

（2）第四象限的角的集合.

解：（1）与.,

3

2

2

3

2

Zkk



终边也相同的角是

（2）第四象限的角的集合是

},222

2

3

|{Zkkk





也可能写成},2

2

2|{Zkkk





注意两种角度制不准混合用，如写成

.,2120是不对的Zkk

布置作业，课本P

12

，1~5题.

第二课时

教学要求：

1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R的一一对应.

2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题.

教学过程：

复习角的弧度制与角度制的转化公式

.017453.0

180

1,81.573.573.57)

180

(1radradrad











1．学生先练习，老师再总结.

（1）10rad角是第几象限的角？（2）求的值.

解：（1）有两种方法.第一种方法21336057310rad，是第三象限的角

第二种方法

2

3

210),210(210而

∴10rad的角是第三象限的角.

（2）9975.07585sin5.1sin75855.1









也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD，再求即可得.

2．总结角的集合与实数集R之间的一一对应关系.

正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数，

零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角

的弧度数等于这个实数）

这样就在角的集合（元素是角）与实数集R（元素是数）

之间建立了一一对应的关系.

3．弧长公式，扇形面积公式的应用

由弧度制的定义||rl

r

l

d得弧长

例1：利用弧度制证明扇形面积公式llRS其中,

2

1

是扇形弧长，R是圆的半径.

证明：因为圆心角为1rad的扇形的面积是





2

2R

，

而弧长为l的扇形的圆心角为rad

R

l

，所以它的面积

lR

R

R

l

S

2

1

2

2







.

若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成

||

2

1

||

2

1

2

1

2RRRlRS

例2：半径R的扇形的周长是4R，求面积和圆心角.

解：扇形弧长为4R-2R=2R，圆心角)(2

2

rad

R

R



面积22

2

1

RRS.

例3：在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，

求它的内切圆的面积.

解：先求得扇形的半径





ll

r

2

2



设圆的半径为x，圆心为C，

xOC2||

由



l

xx

2

2解得





ll

x

)12(2

)12(

2







l

S⊙C



2

2

)223(4l

x





4．学生课堂阅读课本P

10~11

例5、例6

并作P

11

练习7、8两题.

布置作业，课本P

12—13

，习题6、8、9、10、11

§弧度制

[教学目标]

（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟

记特殊角的弧度数；

（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。

[教学重点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，

是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。

[教学难点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，

是本小节的乃至本章的难点；

[教学过程]

一．引入

我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的

360

1

为1度的角，这种用度作为单位来度

量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位

制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。

二．新课

定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样

的圆心角等于1rad。

rad1

rad2

OO

A

B

A

C

r

r

rl2

[说明]学生阅读课本，教师作要点说明，并进行归纳。

一般地，可以得到：

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角



的弧度数的

绝对值

r

l

||

其中

l

是以角



作为圆心角时所对弧的长，

r

是圆的半径。

概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。

1．把角度换成弧度

2．把弧度换成角度

[例1]把'3067化成弧度。

[例2]把

5

3

rad化成度。

[约定]今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这

个角对应的弧度数。

特殊角的度数与弧度数的对应表：

度030456090120135150180270360

弧度0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

5



2

3

2

角的集合与实数集R之间的对应关系：

正角

零角

负角

正实数

负实数

0

任意角的集合R实数集

[复习]角度制下的弧长公式和扇形面积公式

弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

（1）弧长公式：rl||，（



弧度数）

rad2360

rad180

rad01745.0

180

1





3602rad

180rad

'185730.57

180

1





















rad

（2）扇形面积：lRS

2

1

（该结论在例讲解后给出）

[例3]利用弧度制证明扇形面积公式lRS

2

1

，其中l是扇形的弧长，R是圆的半径。

[例4]计算：

（1）

4

sin



；（2）5.1tan。

[例5]将下列各角化成0到2的角加上)(2Zkk的形式：

（1）

3

19

；（2）315。

[例6]求图4—9中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m。图中长度单位：m）.

例１把下列各角的度数化为弧度数：

⑴150⑵'3037⑶'3022⑷315

解因为

180

1



rad，所以

⑴radrad

6

5

180

150150





⑵radrad

24

5

1802

1

37

2

1

373037'























⑶radrad

81802

1

22

2

1

223022'























⑷radrad

4

7

180

315315





例２把下列各角的弧度数化为度数：

⑴rad

4

3

⑵rad5.3⑶rad

3

5

⑷rad

4

9



解因为



rad＝180，所以

⑴rad

4

3

＝

4

3

×180＝135；

⑵rad5.3＝55.20030.575.315.3rad；

⑶rad

3

5

＝

3

5

×180＝300；

⑷rad

4

9

＝

4

9

×180＝405．

度与弧度的换算可以利用计算器进行，具体操作方法可见本书的附录．

今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个

角所对应的弧度数．例如，角



＝１表示



是１rad的角，

4

sin



表示rad

4



的正弦，即

4

sin



＝

2

2

45sin．

根据常用特殊角间的倍数关系，可以列出下列特殊角的度数与弧度数对应值．

度

弧

度

例３用弧度制表示终边在y轴上的角的集合．

解因为在角度制下，终边在y轴上的角的集合为

S｛∣,18090n

Zn｝

所以，在弧度制下，终边在y轴上的角的集合为

S｛∣



n

2

，Zn｝

例４计算：

4

tan

6

cos

3

sin





解原式＝45tan30cos60sin

＝1

2

3

2

3



＝

3

课题：弧度制（一）

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

???讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之

目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行

性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧

度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩

证统一思想的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

A

B

α

O

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成

角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的

端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

2100

-1500

6600

2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义

初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？

规定周角的

360

1

作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，

可以计算弧长，公式为

180

rn

l





3．探究

30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半

径的比

结论：圆心角不变，则比值不变，

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度

量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度，

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad

r

r

r

1rad

2r

r

2rad

3r

r

3rad

l

r

rad

探究：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

⑶角的弧度数的绝对值

r

l

（l为弧长，r为半径）

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的

方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方

法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

2.角度制与弧度制的换算：

∵360=2rad∴180=rad

∴1=

radrad01745.0

180





'185730.57

180

1





















rad

三、讲解范例：

例1把'3067化成弧度

解：

















2

1

67'3067

∴radrad



8

3

2

1

67

180

'3067

例2把rad

5

3

化成度

解：108180

5

3

5

3

rad

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示

3rad，sin表示rad角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π

角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的

集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1终边在

x

轴上的角的集合

2终边在

y

轴上的角的集合

3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在

x

轴上的角的集合ZkkS,|

1



2终边在y轴上的角的集合













ZkkS,

2

|

2





3终边在坐标轴上的角的集合













Zk

k

S,

2

|

3





四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是()

A.



k2

22

和（ｋ∈Ｚ）B.－

3



和

3

22

π

C.－

9

7

和

9

11

D.

9

122

3

20

和

2.若α＝－3，则角α的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若α是第四象限角，则π－α一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合

为.

弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为.

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为.

正角

零角

负角

正实数

零

负实数

7.求值：

2

cos

4

tan

6

cos

6

tan

3

tan

3

sin



.

8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求

A∩B.

9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.

参考答案：

4.｛α｜2kπ＜α＜

2



＋2kπ，k∈Z}

｛α｜kπ＜α＜

2



＋kπ，k∈Z｝

5.一7－2π6.3

∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝

9.

24

11

五、小结1．弧度制定义2．与弧度制的互化2.特殊角的弧度数

六、课后作业：

已知



是第二象限角，试求：

(1)

2



角所在的象限；(2)

3



角所在的象限；(3)2



角所在范围.

解：(1)∵α是第二象限角,∴

2



+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即

4



+kπ<

2



<

2



+kπ,k∈Z.

故当k=2m(m∈Z)时，

4



+2mπ<

2



<

2



+2mπ,因此，

2



角是第一象限角；当k=2m+1(m

∈Z)时，

4

5

π+2mπ<

2



<

2

3

π+2mπ,因此，

2



角是第三象限角.

综上可知，

2



角是第一或第三象限角.

(2)同理可求得：

6



+

3

2

kπ<

3



<

3



+

3

2

kπ,k∈Z.当k=3m(m∈Z)时，









mm2

33

2

6

,此时，

3



是第一象限角；

当k=3m+1(m∈Z)时，







3

2

2

333

2

2

6

mm，即

3

2

6

5

m<π

+2mπ,此时，

3



角是第二象限角；

当k=3m+2(m∈Z)时，



mm2

3

5

3

2

2

3

,此时，

3



角是第四象限角.

综上可知，

3



角是第一、第二或第四象限角.

(3)同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z.

评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如

0°<α<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.

(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k取不同值，讨论形如θ=α+

3

2

kπ

(k∈Z)所表示的角所在象限.

(3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y轴负半

轴上的角

2

3

π+4kπ(k∈Z),而此角不属于任何象限.

七、板书设计（略）

八、课后记：课题：弧度制（一）

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

???讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之

目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行

性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧

度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩

证统一思想的理解.

教学过程：

一、复习引入：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

A

B

α

O

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成

角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的

端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

2100

-1500

6600

2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义

初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？

规定周角的

360

1

作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，

可以计算弧长，公式为

180

rn

l





3．探究

30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半

径的比

结论：圆心角不变，则比值不变，

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度

量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧度，

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad

r

r

r

1rad

2r

r

2rad

3r

r

3rad

l

r

rad

探究：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

⑶角的弧度数的绝对值

r

l

（l为弧长，r为半径）

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的

方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方

法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

2.角度制与弧度制的换算：

∵360=2rad∴180=rad

∴1=

radrad01745.0

180





'185730.57

180

1





















rad

三、讲解范例：

例1把'3067化成弧度

解：

















2

1

67'3067

∴radrad



8

3

2

1

67

180

'3067

例2把rad

5

3

化成度

解：108180

5

3

5

3

rad

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示

3rad，sin表示rad角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°

弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π

角度210°225°240°270°300°315°330°360°

弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的

集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1终边在

x

轴上的角的集合

2终边在

y

轴上的角的集合

正角

零角

负角

正实数

零

负实数

3终边在坐标轴上的角的集合

解：1终边在

x

轴上的角的集合ZkkS,|

1



2终边在y轴上的角的集合













ZkkS,

2

|

2





3终边在坐标轴上的角的集合













Zk

k

S,

2

|

3





四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是()

A.



k2

22

和（ｋ∈Ｚ）B.－

3



和

3

22

π

C.－

9

7

和

9

11

D.

9

122

3

20

和

2.若α＝－3，则角α的终边在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若α是第四象限角，则π－α一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合

为.

弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为.

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为.

7.求值：

2

cos

4

tan

6

cos

6

tan

3

tan

3

sin



.

8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求

A∩B.

9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.

参考答案：

4.｛α｜2kπ＜α＜

2



＋2kπ，k∈Z}

｛α｜kπ＜α＜

2



＋kπ，k∈Z｝

5.一7－2π6.

3

∩B＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝

9.

24

11

五、小结1．弧度制定义2．与弧度制的互化2.特殊角的弧度数

六、课后作业：

已知



是第二象限角，试求：

(1)

2



角所在的象限；(2)

3



角所在的象限；(3)2



角所在范围.

解：(1)∵α是第二象限角,∴

2



+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,即

4



+kπ<

2



<

2



+kπ,k∈Z.

故当k=2m(m∈Z)时，

4



+2mπ<

2



<

2



+2mπ,因此，

2



角是第一象限角；当k=2m+1(m

∈Z)时，

4

5

π+2mπ<

2



<

2

3

π+2mπ,因此，

2



角是第三象限角.

综上可知，

2



角是第一或第三象限角.

(2)同理可求得：

6



+

3

2

kπ<

3



<

3



+

3

2

kπ,k∈Z.当k=3m(m∈Z)时，









mm2

33

2

6

,此时，

3



是第一象限角；

当k=3m+1(m∈Z)时，







3

2

2

333

2

2

6

mm，即

3

2

6

5

m<π

+2mπ,此时，

3



角是第二象限角；

当k=3m+2(m∈Z)时，



mm2

3

5

3

2

2

3

,此时，

3



角是第四象限角.

综上可知，

3



角是第一、第二或第四象限角.

(3)同理可求得2α角所在范围为：π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z.

评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如

0°<α<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.

(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k取不同值，讨论形如θ=α+

3

2

kπ

(k∈Z)所表示的角所在象限.

(3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y轴负半

轴上的角

2

3

π+4kπ(k∈Z),而此角不属于任何象限.

七、板书设计（略）

八、课后记：

弧度制

教学目标

1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；

重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；

难点：弧度的概念，弧度与角度的关系。

知识结构

教法建议

（1）弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为

主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆

的半径大小无关。（实例）；

其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒

上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制

也比角度制简单：

不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应；

（2）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：

弧度弧度这个关键，来引导学生；

（3）教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致；

（4）通过例3的教学，应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都

能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中

些．

一．课题：弧度制（2）

二．教学目标：1.继续研究角度制与弧度制之间的转化；

2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；

3．求扇形面积的最值。

三．教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。

四．教学过程：

（一）复习：

（1）弧度制角如何规定的？||

l

r

（其中l表示所对的弧长）

（2）

180

1()



o；1

180



o．

说出下列角所对弧度数

30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360ooooooooooo．

（练习）写出阴影部分的角的集合：

（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？

圆的半径为

r

，圆心角为no所对弧长为

||||

2

360180

nnr

lr





o

o

；

x

y

o

30o

60o

x

y

o

150o

210o

扇形面积为

2

2

||||

360360

nrn

Sr





o

o

．

（二）新课讲解：

1．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？

∵||

l

r

（其中l表示所对的弧长），

所以，弧长公式为||lr．]

2．扇形面积公式：

扇形面积公式为：22

||1

222

l

r

Srrlr







．

说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；

②以上公式中的



必须为弧度单位．

3．例题分析：

例1．（１）已知扇形OAB的圆心角为120o，半径6r，求弧长AB及扇形面积。

（２）已知扇形周长为20cm，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

解：（１）因为

2

120

3



o，所以，2

1112

||3612

2223

Slrr



．

（２）设弧长为l，半径为r，由已知220lr，所以202lr，

202

||

lr

rr





，

从而2222

11202

||10(5)25

22

r

Srrrrr

r





，

当5r时，S最大，最大值为25，这时

202

2

lr

rr





．

例２．如图，扇形OAB的面积是24cm，它的周长是8cm，求扇形的中心角及弦AB的长。

解：设扇形的弧长为l，半径为r，则有

28

4

1

2

4

2

lr

l

r

lr

























，

所以，中心角为

4

2

2

l

r

，弦长＝22sin14sin1．

五．课堂练习：

1．集合|,,|2,

22

AkkZBkkZ













的关系是（）

（A）AB（B）AB（C）AB（D）以上都不对。

2．已知集合|2(21),,|44AkkkZB，则ABI等于（）

（A）（B）|44

O

A

B

（C）|0（D）{|4或0}

3．圆的半径变为原来的

1

2

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍。

4．若２弧度的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在的扇形面积是．

5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB的长度为

3

，AB所对的圆心角

的弧度数为．

六．小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

2．由||

l

r

将

1

2

Slr转化成2

1

||

2

Sr，利用这个S与r的二次函数关系

求出扇形面积的最值。

七．作业：习题4.2第11,12题

补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为r，求扇形的面

积。

2．２弧度的圆心角所对的弦长为２，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇

形面积（要求作图）。

3．已知扇形的周长为30，当它的半径r和圆心角



各取多少值时，扇形面积S最

大，最大值为多少？

第二课时：1.1.2弧度制（一）

教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R

一一对应关系的概念.

教学重点：掌握换算.

教学难点：理解弧度意义.

教学过程：

一、复习准备：

1.写出终边在x轴上角的集合.

2.写出终边在y轴上角的集合.

3.写出终边在第三象限角的集合.

4.写出终边在第一、三象限角的集合.

5.什么叫1°的角？计算扇形弧长的公式是怎样的？

二、讲授新课：

1.教学弧度的意义：

①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：

l

r

＝

'

'

l

r

.

②讨论：

l

r

是否为定值？其值与什么有关系？→结论：

l

r

＝

180

n

=定值.

③讨论：

l

r

在什么情况下为值为1？

l

r

是否可以作为角的度量？

④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.用rad表示，读作弧度.

⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？

⑥探究：完成书P7表后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？

⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.半径为

r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝

l

r

.用弧度作单位来度量角的制度

叫弧度制.

⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？

⑨讨论：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示与弧度表示有啥不同？

－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？

2.教学例题：

①出示例1：角度与弧度互化：6730'o；

3

5

rad.

分析：如何依据换算公式？（抓住：180=rad）→如何设计算法？

→计算器操作：模式选择MODEMODE1(2)；输入数据；功能键SHIFTDRG1(2)=

②练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；

3



；

2



；120°；135°；150°；

5

4



③讨论：引入弧度制的意义？（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）

④练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在y轴上.

3.小结：弧度数定义；换算公式（180=rad）；弧度制与角度制互化.

三、巩固练习：

1.教材P10练习1、2题.

2.用弧度制表示下列角的集合：终边在直线y=x；终边在第二象限；终边在第一象限.

3.作业：教材P115、7、8题.

第三课时：1.1.2弧度制（二）

教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算.掌握弧长公式，能

用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角.掌握并运用弧度制表示的弧长公

式、扇形面积公式

教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.

教学难点：理解弧度制表示.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧长公式？

2.弧度与角度互换：－

4

3

π、

3

10

π、－210°、75°

3.口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例：用弧度制推导：S

扇

＝

1

2

LR；2

1

2

SR

扇

.

分析：先求1弧度扇形的面积（

1

2

πR2）→再求弧长为L、半径为R的扇形面积？

方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.

②练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.

③出示例：计算sin

3



、、cos

4



（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）

②练习：求

6



、

4



、

3



的正弦、余弦、正切.

2.练习：

①.用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.

19

3

π、－675°

②用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在y轴上角的集合？终边在第三象限角的集

合？

③讨论：α＝k×360°＋

3



与β＝2kπ＋30°是否正确？

④α与－

9

4



的终边相同，且－2π<α<2π，则α＝.

⑤已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.

解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.

3.小结：

扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.

三、巩固练习：

1.时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？

2.一扇形的中心角是54°，它的半径为20cm，求扇形的周长和面积.

3.已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别

是.

4.作业：教材P10练习4、5、6题.

第一课时弧度制（一）

（一）引入新课

有人问：温州到杭州有多远时，我们回答约400公里，但也有人回答约250英里，请问

那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不

同，一个是公制，一个是英制。他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英

里=1.6公里。

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，一个是弧度制。

角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做一度，故一周等于360度，半轴等于

180度，直角等于90度等等。

弧度制是什么呢？

1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制

之间如何换算？请看课本P8~10，自行解决上述问题。

（二）新课

1．弧度制的定义

师：（画图示意）长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，

或1。

（1）长度等于直径的弧所对的圆心角的弧度数是多少？（画图示意，并写成2R/R

的形式）再举一个负角的例子。

（2）当圆心角是周角时，它的弧度数是多少？为什么？

（3）当圆心角是平角时，它的弧度数是多少？为什么？直角呢？

2、说明：

（1）我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2

π等等，由角的旋转方向决定。

（2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角

的弧度数的绝对值是：

r

l

，其中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。

（3）以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。

3、角度制与弧度制的换算：

（1）记住原理：∵周角所对的弧是整个圆周，是2πr，所以周角的弧度数是2π，但周角

又等于360°

∴360°=2πrad

∴180°=πrad

∴1°=

180



rad≈rad（直接做4（1）（2）（3））

1rad=



180

≈°=57°18/

4、例题与练习：

（1）把下列各角从度化成弧度：（口答，并问为什么？）

360°，180°，90°，45°

30°，60°，120°，135°，270°。

（2）把67°30/，化成弧度。（师生共解）

（3）练习：P11，T3。（板演）

（4）把各角从弧度化成度：（口答，并问为什么）

2π，

2

1

，

3

2

，

6



（5）把

5

3

化成度。（师生共解）

（6）练习：P11，T4。

说明：弧度制与角度制的转换运算，关键要抓住180°=πrad

（三）巩固：

1、小结：

（1）圆心角的弧度数的绝对值等于它所对弧长与半径的比值：

r

l

；也可写成：rl

（2）180°=π；也可写成：

180

1



；1rad=



180

2、常用角的弧度角度换算

师：这些结果同学们应在理解的基础上熟记，在今后有很多的应用。

2、计算：

（1）sin

4



（2）

处理：A：解释tan与初中的记号tg不同，并要求参阅课本首页“本书部分数学符号”注意

正切和余切的写法。

B：教师示范解答，并说明可以查表。

3、练习：P11，T5、6、7、8。

度13502700

弧度

4



2



6

5



2



从第8题引出角度制与弧度制下的弧长计算公式。

角度制下的弧长公式：

180

2

360

rn

r

n

l



（说明推导方法）

弧度制下的弧长公式：rl

说明：显然要简单得多。

第二课时弧度制（二）

（一）复习

师：上一节课我们学习了度量角的一种新单位制——弧度制，我们再来回顾一下。

1．什么叫做1弧度角？

（1）把弧长等于半径时的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

（2）用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

（3）大小不同的若干个圆内，若圆心角都是1rad，则下列结论正确的是（C）

`A、所对弦长相等B、所夹弧长相等C、所夹弧长等于各自半径D、圆心角是570

（4）事实上，在弧度制中，角的大小等于其所对弧长与半径的比值，即

r

l

。

因此，与半径的大小或弧的长短无关。这个比值是一个实数，因此我们就在角的集合与

实数集合之间建立了一一对应关系。即：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧

度数）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（这个角的弧度数等于这个

实数）与它对应。

角的集合R

师：现在看P10的图4-7，应该不会太难了。（看书，不懂提问）

2．在角度制中，弧长公式

180

2

360

rn

r

n

l



，扇形面积

360360

2

2

rn

r

n

S





（简单介绍其推导过程）

在弧度制中，弧长公式rl，那么扇形面积是怎么样的呢？下面我们一起来推导。

例1利用弧度制证明扇形面积公式lRS

2

1

，其中l使扇形的弧长，R是圆的半径。

证明：如图，∵圆心角为1rad的扇形的面积为2

2

1

R



，又弧长为l的扇

形的圆心角的大小为

R

l

rad，所以它的面积为2

2

1

R

R

l

S



lR

2

1



师：所以弧度制中，扇形面积公式为2

2

1

2

1

rlRS。相比之下，

弧度制下的公式显得格外简单。

3．角度制与弧度制的互化：

180°=πrad1°=

180



rad≈rad1rad=



180

≈°=57°18/

注意：进行角度制与弧度制的换算关键是抓住公式rad180。

R

OS

（三）例题选讲

例1（1）将99030‘化为弧度；（2）将

18

7

化为度

处理：学生练习。答案：（1）

360

199

；（2）-700

例2将下列各角化成2πk+α（k∈Z，0≤α＜2π＝的形式，并指出是第几象限角？

（1）

3

19

；（2）

6

31

；（3）

6

19

；（4）-3150

处理：师生共解，教师详细讲解试商步骤，目的和技巧。

解：（1）

3

6

3

19

，

3

19

与

3



的终边相同，故

3

19

是第一象限角；

（2）

6

5

6

6

31

，

6

31

与

6

5

的终边相同，是第二象限角；

（3）

6

7

2

6

19

，是第三象限角；（与π及

2

3

比较）

（4）-3150=-3600+450=-2π+

4



，是第一象限角。

说明：用弧度制表示终边相同角2πk+α（k∈Z）时，2πk+α是2π的整数倍。

练习课本P12练习第9、10题

处理：独立完成，板演，讲评。

例3求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m，图中长度单位：m）

解：因为

3

60



，所以

471514.345

3

||



Rl（m）.

答：弯道处AB的长约为47m.

练习课本P11-12练习第9～14题

处理：板演，讲评。

11、蒸汽机飞轮的直径为1.2m，以300r/min（转/分）的速度作逆时针旋转，求：

（1）飞轮每1s转过的弧度数；

（2）轮周上一点每1s所转过的弧长。

解：（1）因为飞轮转速300r/min=5r/s，而且飞轮作逆时针旋转，所以它每1s转过的弧度

数为5×2π=10π.

（2）轮上一点每1s所转过的弧长为

66.010Rl（m）.

补充题：已知













ZkkxkxA,

23

|







，}04|{2xxB，求A∩B.

说明：集合A其实是一些区间角的集合。答案：}22|{xx

一．课题：弧度制（1）

二．教学目标：1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式||

l

r

（l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆半径）。

三．教学重、难点：弧度与角度之间的换算。

四．教学过程：

（一）复习：

初中时所学的角度制，是怎么规定1o角的？

（初中时把一个周角的

1

360

记为1o）

（二）新课讲解：

1．弧度角的定义：

规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad．

练习：圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、

2

r

的弧所对的圆心角分别为多少？

说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多

少？

2．弧度的推广及角的弧度数的计算：

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度

数的绝对值是

r

l

||，（其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半

径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad经常省略，即只写一实数表示角的度

量。

例如：当弧长4lr且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

4

||4

lr

rr



．

3．角度与弧度的换算

3602orad180orad，

180

1



rad0.01745rad1rad=)

180

(



5718



o

4．例题分析：

例1：把'3067化成弧度．

解：因为6730

o67.5o，所以

3

671567.5

1808

rad





oorad．

例2：把

3

5



rad化成度。

解：

3

5



rad

3

180108

5

oo．

例3．用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在

x

轴的非正、非负半轴，y轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

解：（1）终边落在

x

轴的非正半轴的角的集合为|2,kkZ；

非负半轴的角的集合为|2,kkZ；

终边落在y轴的非正半轴的角的集合为

3

|2,

2

kkZ













；

非负半轴的角的集合为|2,

2

kkZ













；

所以，终边落在x轴上的角的集合为|,kkZ；落在y轴上的为

|,

2

kkZ













．

（2）第一象限角为22,

2

kkkZ













；第二象限角为

22,

2

kkkZ













；

第三象限角为

3

22,

2

kkkZ













；第四象限角为

3

222,

2

kkkZ













．

例4．将下列各角化为2(02,)kkZ的形式，并判断其所在象限。

（1）

19

3

；（2）315o；（3）1485o．

解：（1）

19

632

333



，所以，此角为第一象限角；

（2）

7

3152(1)2

444



o，所以此角为第一象限角；

（3）

337

148510

44



o，所以此角为第四象限角．

5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

0o30o45o60o90o120o135o150o180o270o360o

0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

5



2

3

2

五．课堂练习：课本第13页练习1、2、3、4、5题

六．小结：1．弧度制的定义；

2．弧度制与角度制的转换与区别。3．。

七．作业：习题4.2第2、3、5题

补充：1．在ABC中，若::3:5:7ABC，求,,ABC弧度数。

2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转45o，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长

是多少？