如何解一元三次方程

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一元三次方程

一元三次方程的标准型为023dcxbxax

)0,,,(aRdcba且。一元三次方

程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三

次方程。

【盛金公式】一元三次方程023dcxbxax

)0,,,(aRdcba且

重根判别式：bdcCadbcBacbA3:9;322，总判别式：Δ=ACB22。

当A=B=0时，盛金公式①：

c

d

b

c

a

b

xxx

3

3321

，当Δ=ACB22>0时，

盛金公式②：

a

yyb

x

3

3

1

2

3

1

1

1



；i

a

yy

a

yyb

x

6

3

6

23

1

2

3

1

1

3

2

2

3

1

1

3,2







；其中

2

)4(32

2,1

ACBBa

Aby





,12i.当Δ=ACB22=0时，盛金公式③：

K

a

b

x

1

；

232

K

xx，其中)0(A

A

B

K.当Δ=ACB22<0时，盛金公式

④：

a

Cosab

x

3

3

2

1





，

a

SinCosAb

x

3

)

3

3

3

(

3,2





；其中arcCosT，

)11,0(),

2

32

(



TA

A

aBAb

T.

【盛金判别法】①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；②：当Δ=ACB22>0

时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=ACB22=0时，方程有三个实根，

其中有一个两重根；④：当Δ=ACB22<0时，方程有三个不相等的实根。

【盛金定理】当0,0cb时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无

意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。当0,0cb

时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否

存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，

盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

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;.

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛

金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④

解题）。

盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值

必定是-1＜T＜1。显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一

定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金

公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，

盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的

解较直观。重根判别式bdcCadbcBacbA3;9;322是最简明的式子，由A、

B、C构成的总判别式Δ=ACB22也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一

元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子

2

42ACBB

具有一元二次方程

求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。