倍角公式

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三角函数倍角公式

复习重点:二倍角公式

二倍角的正弦公式：

sin2A＝2sinAcosA

二倍角的余弦公式：

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

二倍角的正切公式：

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

对公式的再认识：

(1)适用围：二倍角的正切公式有限制条件：

A≠kπ＋

2

且A≠k

2

＋

4

(k∈Z)；

(2)公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；

二倍角关系是相对的。

(3)公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。

复习难点:倍角公式的应用复习容:

小结：

倍角公式：

sin2A＝2sinAcosA

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

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tan2A＝

2

2tanA

1tanA－

化“1〞公式〔升幂公式〕

1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2，

1－sin2A＝(sinA－cosA)2

1＋cos2A＝2cos2A

1－cos2A＝2sin2A

降幂公式

cos2A＝1cos2A

2

＋

sin2A＝1cos2A

2

－

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:

，进一步得到半角公式:

降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次〞可以作为三角

变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，

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而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表

示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个

公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα,cosα,

tanα，即:

，，这组公式叫做

“万能〞公式.

教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可

根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

例1．推导三倍角的正弦、余弦公式解:sin3α=sin(2α+α)

cos3α=cos(2α+α)

例2．利用

三倍角公式推导sin18°的值.解:∵sin36°=cos54°,∴

2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴

2sin18°=4-4sin218°-3

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∴4sin218°+2sin18°-1=0

∴.此题还可根据二倍角公式推出

cos36°.

即.

例3．化简求值:(1)csc10°-c10°(2)

tan20°+cot20°-2c50°解:(1)csc10°-c10°

(2)tan20°+cot20°-2c50°

例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

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例5．:.求:cos4θ+sin4θ的值.解:∵

,

∴,即，

即，∴

cos4θ+sin4θ例

6．求cos36°·cos72°的值.解:cos36°·cos72°

例

7．求:的值.解:

上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能

采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足〔1〕余弦相乘，

〔2〕后一个角是前一个角的两倍，〔3〕最大角的两倍与最小值的和

〔或差〕是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

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例8．:2cosθ=1+sinθ，求.

方法一:∵2cosθ=1+sinθ，∴∴

或，∴,

∴,∴或=2.

方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,

∴,

∴或,∴或

=2.

例9．:，求:tanα的值.解:∵

，∴，

∵0≤α≤π,∴,∴

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(1)当时,，

则有,∴，∴，

∴，

∴.

(2)当，则有

，

∴，∴，∴.

注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα

在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.

例10．:sinθ,sinα,cosθ为等差数列;sinθ,sinβ,cosθ为等比数列.求

证:2cos2α=cos2β.证明:∵，∴

∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:

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1．假设，

则〔〕.

A、PQB、PQC、P=QD、P∩Q=

2．假设A为ΔABC的角，，则cos2A=〔〕.

A、B、C、D、

3．假设，则sin2θ=〔〕.

A、B、C、D、

4．假设，则sinθ=〔〕.

A、B、C、D、-

5．假设，则=〔〕.

A、B、C、1D、-1

6．假设，则cosα=________.7.假设θ为第

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二象限角，且，则=_____.8．sinA+cosA=2sinB.

求证:cos2B=cos2.

参考答案

1.C2.B3.C4.C5.B6.7.6