微积分论文

微积分学习体会

XXXX

XXXXX班

XXX

目录

对微积分的认识.......................................................................................2

初识微积分..........................................................................................2

我眼中的微积分.................................................................................3

微积分的发展...........................................................................................4

萌芽初显..............................................................................................4

初步成型..............................................................................................4

理论一统..............................................................................................5

逐步完善..............................................................................................6

微积分在现实中的应用...........................................................................6

为什么计算机要采用二进制.............................................................6

利用微积分做变力计算.....................................................................8

小结..........................................................................................................10

对微积分的认识

初识微积分

对大多数人来说,微积分的认识学习都始于高二时期。老师以求函数图

像面积的方式告诉我们微积分的概念,意味着我们开始迈入这一神奇的领

域。但实际上，早在更久之前，我们便已接触过微积分的思想。

在我们还在上初中或小学之时，老师就开始教导我们学习圆的有关知

识，尤其是圆的面积的求法。很多人都只记得2rS的公式，却忘记了这一

公式的根本来源。大多数老师在讲解这一公式时，都采用如下两种思路：

1.将一个圆平均分割成数个等大的扇形，然后将其以一定的规律拼成

近似的长方形,其长边边长可视为圆的周长的1/2r，窄边边长为R，利用

长方形的面积公式可得S=a＊b=2r

。

2.将一个圆平均分割成n个等大的扇形,将其面积s相加即可得到圆的

面积。每个扇形可以近似为三角形来计算：

n

r

r

n

r22

2

1

s



,则圆的面积

2Srns。

从中不难看出,对圆的面积的推导过程中也存在着一定的微积分思想,

特别是第二种方法，和分割-取点求积-近似求和—取极限的微积分的过程基

本一致。其实，人类最早对微积分思想的认知就来源于圆面积的计算。我们

初识微积分其实也由此开始。

我眼中的微积分

在系统地学习一段时间微积分后，我对微积分也有了一定体会。在我看

来,函数描绘的是一种规律性的变化，而微积分则是对这一变化的变化率和

变化累加量进行的转换和运算。微分是将函数代表的变化分割成微小的量，

作为其微小变化量的线性主部,积分则是微分的逆运算,是对微小量的累加

和。在微分和积分中，极限思想是都非常重要的。在取极限的情况下,一些

有限的量往往对结果没有意义，因此在极限思想下，我们可以用一元函数

)(yxf

的微分dy来近似替代其函数变化量从而进行近似计算,也可以通过

黎曼和作为函数在区间上的图形面积计算.我们前四章的学习，正是沿着极

限—微分—积分的路线逐步前进的。

微积分的发展

在系统地学习微积分之前，我一直只知道微积分是由牛顿和莱布尼兹发

明的。在我的心目中，微积分只不过是这两个人天才思想的表现。但在学习

后我才发现，微积分实质上来源已久，并非只是一两个人的思想，而是几个

时代数学家的智慧结晶,既有先贤们的探索,也有近现代数学家的闪光.

萌芽初显

微积分的思想萌芽,部分可以追溯到两千多年前。在希腊、中国和印度

数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的

面积、体积和曲线长的例子。比如，希腊数学家用方砌圆，庄子的“一尺之

棰，日取其半，万世不竭”。魏晋时刘徽的“割圆术”和祖氏父子的割圆法

则是将其应用于解决实际问题的典范。古希腊时期的安提芬提出了穷竭法，

其由欧多克斯和阿基米德发展。芝诺的一系列关于分割的悖论一直困扰数学

家们多年.此外，阿基米德、阿波罗尼奥斯以及中国部分数学家也曾尝试求

曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。

初步成型

伴随着社会发展，16世纪以后的数学家们需要解决更多的现实问题，

自然科学开始迎来新的突破.这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决

速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且

在相当短的时间内取得了极大的发展。开普勒发现行星运动三大定律,并利

用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。意大利数学家卡

瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理),利用不可分量方法幂函数定

积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理。同一时期笛卡尔的代数方

法对于微积分的发展起了极大的推动.费马在求曲线的切线及函数的极值方

面贡献巨大.他们为微积分的正式创立做出了不可磨灭的贡献。

理论一统

1664年,牛顿开始研究微积分问题，并在1666年发表《流数简论》,发

明出正流数术（微分）和反流数术（积分)，并论述了微积分基本定理。此

后多年，他一直还在致力于改进自己的理论.先后完成三篇微积分论文:《运

用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》。

与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤

其是特征三角形的研究。1684年,莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微

积分研究的成果，发表了第一篇微分学论文它包含了微分记号以及函数和、

差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及

光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论

文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包

含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹的发现将前人的成果有机

地结合成一个整体，使微积分开始变得系统化然而，瑞士科学家丢德勒的一

篇文章却引起了”科学史上最不幸的一章“，微积分发明权之争，他认为莱

布尼兹的借鉴了牛顿,由此，支持牛顿和莱布尼兹的科学家们为此争执不休

多年，停止了相互的意见交换，甚至在很长一段时间内影响到了英国数学的

发展。此后多年，学术界终于达成共识：微积分由两人共同独立发明。此时，

两人均已过世，其中莱布尼兹晚景颇为凄凉。

逐步完善

微积分学在牛顿与莱布尼茨的时代逐渐建立成型，但是任何新的数学理

论的建立，在起初都是会引起一部分人的极力质疑，微积分学同样也是.由

于早期微积分学的建立的不严谨性，许多不安分子就找漏洞攻击微积分学，

其中最著名的是英国主教贝克莱针对求导过程中的无穷小展开对微积分学

的进攻.第二次数学危机便拉开了序幕。危机出现之后，许多数学家开始对

微积分学的理论严谨性进行完善。捷克数学家布尔查诺对于函数性质作了细

致研究，首次给出了连续性和导数的恰当的定义，对序列和级数的收敛性提

出了正确的概念；柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋近于

0的变量,并定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性;

数学家魏尔斯特拉斯提出了病态函数（处处连续但处处不可微的函数),后续

又有人发现了处处不连续但处处可积的函数，使人们重新认识了连续与可微

可积的关系，他提出了致密性定理，并引进了极限的ε～δ定义。继而在此

基础上，黎曼与1854年和达布于1875年对有界函数建立了严密的积分理论，

19世纪后半叶，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理

论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析

终于建立在实数理论的严格基础之上了.至此，微积分才算是成为了一门较

为独立、严谨的科学。

微积分在现实中的应用

为什么计算机要采用二进制

众所周知，我们一般在生活中使用的是十进制，进位基数为十,用0到

9十个基本数字来表示数据。但对于广大的数字电子设备，尤其是计算机而

言，其使用的却是以二为基数的二进制。那么,为什么这些设备不使用成熟

通用的二进制，而去使用二进制呢？

常见的一种解释是：计算机使用二进制是因为电路的结构决定了0和1

容易用电路开关来实现，而且运算简单,存储方便.但如果从用不同数制表示

数据能力的强弱来看，计算机使用二进制显然还有其它原因。

在这里，我们引入“设备状态”这一概念,我们知道，为了表示0—99

这一百个数字，需要两位十进制数字，每位数字有10种状态。这样，表示

0-99就需要2＊10=20种设备状态。一般来说，n位十进制数字,可表示

110~0n这n10

个数，需要10n个设备状态。类似地考虑二进制，当其拥有

20种设备状态时，共有20/2=10位，能够表示12~010这102=1024个数字，

可见，在这一状况下二进制比十进制能够表示更多的数。

将条件一般化，那么就成了以下两个问题：

（一）对确定的设备状态N，用几进制能够表示最多的数字？

（二）对于一个确定的数M，用几进制能以最少的设备状态表示它？

问题（一）的解答如下：

已知设备状态N,设使用x进制，则有

x

N

n

位，能够表达的数字为

1x~0n

,则

x

N

xxMM,1x

对等式两端同时取自然对数得

nx

x

N

nMll

对等式两端同时求导



2

ln1

M

M

x

xN







2

ln1

xM

x

xN

x

N





令M



=0，得x=e，即xM在定义域上有唯一驻点x=e

易知当ex时，0M



，M单调递增

当ex时，0M



，M单调递减

则M在x=e上取得最大值

问题（二)的解答如下:

已知确定的数M，设使用x进制，则

x

Ml

ln

n

n



x

Mx

ln

ln

nxxNN

对其求导得

x

xM

2ln

)1(lnln

N







令0N



，得x=e，即xN在定义域上有唯一驻点x=e

易知当ex时，0N



，M单调递增

当ex时,0N



,M单调递减

则N在x=e上取得最小值

综上可知，当x=e时表示数字的能力最佳，但x不能取一个非正整数,

因此对e两侧的2和3进行比较可知,23,23MNNM，也就是说，

从数据表达角度，三进制最为优秀。但限于底层电路原因,二进制在易实现

程度上要远高于三进制,因此最终三进制计算机没能真正发展起来,而是二

进制成为了时代的宠儿。

利用微积分做变力计算

对于大小和方向都在时刻变化的情况下，直接使用高中物理知识并不适

用.在这种情况下，用微积分进行计算无疑更为好用。例子如下：

质量为m的小球最初位于半径为R的光滑圆弧面的顶端A点，然后小球

沿光滑圆弧面从静止开始下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作

用力。

解：受力如图所示

对小球做受力分析，并列方程得

t

mmg

d

d

cos

v



sin

2

1

2Rgv

R

Rg

mmgF





sin2

sin

N



R

mmgF

2

N

sin

v



对方程的变量进行变换

ttd

d

d

d

d

d





vv





d

dv



d

dvv

R



分离变量

dcosdRgvv

对其积分,得



00

dcosdRgvvv

即

sin2Rgv

此时压力

sin3mg

小结

在学习微积分之前,我总是简单地将它当作一本数学教材，一种数学方

法，或是一类数学难题.对于微积分，我总是对其怀着一种敬畏的心情。然

而在逐渐接触学习之后，我发现微积分远远不止如此，它更是一种数学的思

想和整体观念。

放眼大学其它学科，凡是涉及到数学运算的内容，几乎无一避得开微积

分，它也远远不只是停留在纸面上，而是活跃在我们生活学习的每一个角落。

由于才疏学浅，我在此只能给出简单的两个应用。但实际上,我已经在很多

地方都窥见了微分和积分眼熟的符号。我相信它们不会止于现在,而是会陪

伴我们四年，甚至更久，直到真正走入我们心中，成为我们理性思维的一部

分.

现在，在学习中,我还存在一些问题，比如对一些定义和中值定理的应

用不灵活，做一些形式复杂的题型不能快速找到方法，学完后面的知识对前

面的又有所遗忘等等。我希望能在后面的学习中，通过多做不同类型的题型

和反复回顾来解决问题，从而达到更好的学习效果.