矩形对角线

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矩形的性质和判定

一、基础知识

（一）矩形的定义

有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。

（二）矩形的性质：

1.矩形具有平行四边形的一切性质；

2。矩形的对角线相等;

3.矩形的四个角都是900；

4.矩形是轴对称图形；

边角对角线对称性

矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称,中心对称

(三）矩形的判定:

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2。对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形；

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

（四）直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（如图：OB=OC=OA=

2

1

AC）

二、例题讲解

考点一：矩形的基本性质

例1：如图，在矩形ABCD中,AE•⊥BD，•垂足为E，•∠DAE=•2•∠BAE,•那么,•∠BAE=________,

∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．

A

E

D

CB

O

2

练习1：矩形ABCD中,,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15，求矩形的对角线的

长度.

练习2:如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足,∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD。

例2：如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长

是13cm,那么矩形的周长是多少？

练习1：矩形ABCD中,，对角线AC与BD相交于点O，已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的

对角线长。

3

例3：如图,在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点

E．试求BE与CE的长度．

练习1：如图，在矩形ABCD中,E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

例4：（2009年广西钦州）已知:如图1，在矩形ABCD中,AF＝BE．求证：DE＝CF;

A

D

C

B

图1

FE

练习1：如图,矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。

A

B

C

D

E

4

练习2：（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，

点Q在矩形内．

求证：(1）∠PBA=∠PCQ=30°；

（2）PA=PQ．

考点二：面积法

例1:如图，在矩形ABCD中,AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．

练习1：如图,矩形ABCD中，E点在

BC

上，且

AE

平分BAC。若

BE

=4,

AC

=15，则AEC面积为（)

A。15B。30C。45D.60。

A

B

C

E

D

A

C

B

D

P

Q

5

O

D

C

B

A

练习2：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,AD=

34

cm.

(1）判定△AOB的形状.

（2）计算△BOC的面积.

练习3:如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C＇处,BC＇交AD于E，AD=8，AB=4,BE=5，求

△BED的面积.

B

A

C

D

E

C'

考点三:矩形对角线平分且相等

例1:矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm，则矩形的对角线长为

cm。

练习1:矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（)．

A．57.5°B．32.5°

C．57。5°、33。5°D．57。5°、32.5°

6

练习2：矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm;则矩形的对角线长；

练习3：如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝5cm，则AC＝。

考点四：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例1：如图,△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点,求证：DE=

1

2

AC．

7

H

E

C

D

A

B

练习1:如图,矩形ABCD的对角线AC交BD于D，E为CB延长线上一点,连接AE，M为AE中点且BM⊥DM于

点M，

（1）连接OM，若AD=8，CD=6，求OM的长.

（2）求证：AD+BE=2AO

考点四：角平分线

例1：已知，四边形ABCD是矩形,CH⊥BD,H为垂足，AE是∠BAD的平分线，交HC的延长线于E。

求证：CE=BD.

例2：矩形ABCD，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数；

AD

O

BEC

8

C

D

A

B

E

F

G

例3：（2009年佳木斯中考卷第25题)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置，

AB′与CD交于点E。

（1）试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明。

（2）若AB=8,DE=3，P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G，PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由。

练习1：如图，E为矩形ABCD边AD上一点，BE=DE，P为BD上一点，PF⊥BE于F,PG⊥AD于G。

求证：PF+PG=AB。

课后练习：

1、矩形的两条对角线的夹角为60°，•一条对角线与短边的和为15,•对角线长是________，两边长分别

等于________

2、矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．

3、如图，矩形ABCD中,E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．

4、如图，矩形ABCD中,AB=2BC,在CD上取上一点M,使AM=AB,则∠MBC=_______．

9

5、已知：如图,矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．

6、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）

A．1B．2

C．

2

D．

3

7、如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，

△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）

A．10

B．16

C．18

D．20

A

B

C

D

F

E

O

A

B

C

D

y

x

图1

O

A

B

D

C

P

4

9

图2

10

8、（2009年遂宁)如图,已知矩形ABCD中,AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动,点E、F、G、H分别是

AB、AP、DP、DC的中点。

⑴求证:EF+GH=5cm;

⑵求当∠APD=90o时,

GH

EF

的值．