曲线切线方程

.

精品

过一点求曲线的切线方程的三种类型

舒云水

过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒

1.已知曲线)(xfy上一点))(,(

00

xfxP，求曲线在该点处的切线方

程﹒

这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种

类型﹒其求法为：先求出函数)(xf的导数)(xf

，再将

0

x代入)(xf

求

出)(

0

xf

，即得切线的斜率，后写出切线方程)(

0

xfy=)(

0

xf



)(

0

xx，

并化简﹒

例1求曲线33)(23xxxf在点)1,1(P处的切线方程﹒

解：由题设知点P在曲线上，

∵xxy632

，∴曲线在点)1,1(P处的切线斜率为3)1(



f，所求

的切线方程为)1(31xy，即43xy﹒

2.已知曲线)(xfy上一点))(,(

11

xfxA，求过点A的曲线的切线方

程﹒

这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可

能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学

过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：

设切点为))(,(

00

xfxP，先求出函数)(xf的导数)(xf

，再将

0

x代入)(xf



求出)(

0

xf

，即得切线的斜率（用

0

x表示），写出切线方程

)(

0

xfy=)(

0

xf



)(

0

xx，再将点A坐标),(

11

yx代入切线方程得

)(

01

xfy=)(

0

xf



)(

01

xx，求出

0

x，最后将

0

x代入方程)(

0

xfy=

.

精品

)(

0

xf



)(

0

xx求出切线方程﹒

例2求过曲线xxy23上的点)1,1(的切线方程﹒

解：设切点为点)2,(

0

3

00

xxx，232



xy，切线斜率为232

0

x，

切线方程为))(23()2(

0

2

00

3

0

xxxxxy﹒

又知切线过点)1,1(，把它代入上述方程，得

)1)(23()2(1

000

3

0

xxxx﹒

解得1

0

x，或

2

1

0

x﹒

所求切线方程为)1)(23()21(xy，或)

2

1

)(2

4

3

()1

8

1

(xy，

即02yx，或0145yx﹒

上面所求出的两条直线中，直线02yx是以)1,1(为切点的切

线，而切线0145yx并不以)1,1(为切点，实际上它是经过了点)1,1(

且以)

8

7

,

2

1

(为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切

线，该点未必是切点﹒

3.已知曲线)(xfy外一点))(,(

11

xfxA，求过点A作的曲线的切线

方程﹒

这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒

例3过原点O作曲线6324xxy的切线，求切线方程﹒（2009

年全国卷Ⅰ文21题改编）

.

精品

解：由题设知原点O不在曲线上，设切点坐标为

P

)63,(2

0

4

00

xxx，xxy643

，切线斜率为（

0

3

0

64xx），切线方

程为：

))(64()63(

00

3

0

2

0

4

0

xxxxxxy﹒

又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得

))(64()63(0

00

3

0

2

0

4

0

xxxxx﹒

整理得：0)2)(1(2

0

2

0

xx﹒

解得2

0

x，或2

0

x﹒

所求切线方程为：xy22或xy22﹒

练习：1.求曲线14)(23xxxf在点)2,1(P处的切线方程﹒

2.求过曲线

3

4

3

1

3xy上的点)4,2(的切线方程﹒

3.过点)2,0(作抛物线12xxy的切线，求切线方程﹒

答案：1.035yx；2.044yx或02yx；3.023yx或

02yx﹒

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！