指数函数求导

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精品

在高中时，指数函数xe的导数为其本身，我觉得这个性质非常奇妙，可书上只有一个

等式，并没有给出证明，我那时候百思不得其解。上大学后，书上也没有明确给出其严格的

证明。下面是我的证明方法，当然要用到极限的概念。

首先，自然对数的定义为：

x

x

xe

1

0

1lim



则





x

x

xxe

x

x

x

x

x





















1ln

lim1lnlim1limlnln1

0

1

0

1

0

注意到上式中的最后一个式子，令tx1ln

则有1tex，且当0x时，0t，所以



1

1

lim

1ln

lim

00























t

txe

t

x

x

最后，根据导数的定义，即有

x

x

x

x

xx

x

xxx

x

xe

x

e

e

x

ee

x

ee

e































1

lim

1

limlim

000

得证。

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