科学计数法的有效数字

科学记数法与有效数字

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（一）科学记数法

1.概念

一般地，一个绝对值大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<

10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

2.注意点

（1）记数对象：大于10的数；

（2）一般形式：a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数。

3.表示方法

科学记数法是表示数的另一种方法，不管是准确数还是近似数，它的形式

是固定的。数字用它表示时，就是将结果写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，

确定时只要把小数点移到左起第一、二位数之间即可，n是比要表示的数的整

数位数少1的数.如：0可表示成×108。

（二）有理数的混合运算

1.运算顺序

在做有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算时，其运算顺序和在算术

中的规定是相同的，它们是：

有理数混合运算的运算顺序规定如下：（1）先算乘方，再算乘除，最后算

加减；（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算

小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。加法和减法叫做第一级运

算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方（今后将会学到）叫做第三级运

算。

2.运算律与简便运算

有时为了计算的方便，我们也会改变以上的运算顺序，但改变运算顺序，

不能随心所欲，要以运算律和运算性质为根据。例如，进行有理数加减运算

时，往往可以把结果为整数的两数先加减；把分母相同的数先加减；把正数、

负数分别集中相加减，这些方法都可以使运算简便。

（三）近似数和有效数字

1.四舍五入

四舍五入是确定近似值的常用方法，利用四舍五入法取近似值时，要在要

求精确到的数位的下一位（即右边一位）上进行，满5进一，不满5舍去.切不

可在最末一位上逐步四舍五入。

2.精确度的确定

（1）常规近似数的精确度，直接根据数的位数来确定；

（2）用科学记数法表示的近似数的精确程度，一般由a×10n还原成一般数

字后的数来确定；

（3）确定以万、亿位单位的近似数的精确程度，一般也是化为一般数字近

似数，再确定它的精确度。

3.有效数字确定方法

（1）一般近似数的有效数字确定有两个原则：一是非零数字都是有效数

字；二是非零数字前面的“0”都不是有效数字，三是非零数字中间的“0”和后面的

“0”都是有效数字。

（2）对科学记数法表示的近似数的有效数字，由a×10n（1≤a<10）中的a

来确定，而与10n中的n无关.如×108的有效数字由来确定，与后面的108无

关，的有效数字有4位，所以×108的有效数字也是4位，分别是3、9、8、7。

（3）对于带单位的近似数的有效数字，只看单位前面的数字，与单位无

关；而万的有效数字也是由来确定，与后面的万无关，的有效数字有3位，所

以万的有效数字也是3位，分别是4、1、0.注意：有效数字的个数越多，精确

程度越高.如近似数与，两个近似数有效数字不同：只有两个有效数字，而有三

个有效数字，因而它们所表示的精确度也是不同的：精确到十分位，与准确数

的误差不超过，它所代表的准确值在到之间，即小于而大于或等于；精确到百

分位，它与准确数误差不超过，它所代表的准确值在到之间，即小于而大于或

等于。

例8.说出下列各近似数的有效数字

（1）；（2）×104；（4）万.

分析：（1）根据有效数字的意义，可知共有4个有效数字，分别是4，

0，3，2；（2）因为“×”前面的数字有3个，分别是3，0，5，所以×104有三个

有效数字；（4）万前面的数字有两个，分别是5，6，所以万有两个有效数

字。

解：（1）有四个有效数字，分别是4，0，3，2；（2）×104有三个有效

数字，分别是3，0，5；（4）万有两个有效数字，分别是5，6。

例1：下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位各有几个有效数字

(1)70万(2)万(3)亿(4)×105

分析：因为这四个数都是近似数，所以

(1)的有效数字是2个：7、0，0不是个位，而是“万”位；

(2)的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；

(3)的有效数字是2个：1、8，8不是十分位，而是“千万”位；

(4)的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位．

解：(1)70万.精确到万位，有2个有效数字7、0；

(2)万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；

(3)亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；

(4)×105.精确到千位，有3个有效数字6、4、0．

绝对值、相反数、倒数的性质及应用

【精练】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1=.

解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数

所以a+b=0，cd=1

所以a+b+cd+1=0+1+1=2

【知识大串联】

1．相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是

零；

2．互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反

数，乙也是甲的相反数；

3．相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O

的两边，并且到原点的距离相等。

4．多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数

来决定的，简称：奇负偶正。

5．什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个

数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是

一个非负的量。

6．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝

对值是零。

7．两个负数，绝对值大的反而小。

8．绝对值的性质：

（1）若a为有理数，则︱a︱≥0.

（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的

两个数的绝对值相等。

（3）若︱a︱=a，则a≥0.

（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱

=0,︱d︱=0,…,︱m︱=0,

即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0.

（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。

9．相反数的性质：

若a、b互为相反数，则a+b=0.

10．倒数的性质：若a、b互为倒数，则ab=1.