两点间距离公式

两点间的距离公式

一、教学目标：

1、知识目标

探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。利用坐标法证明简单的平面几何问题；

2、能力目标

掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。培养学生探索能力、研究

能力、表达能力、团结协作能力；

3、情感目标

探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。体验由特殊到一般、由

感性认识上升到理性认识的基本规律。

二、教学重点和难点：

重点：两点间的距离公式及公式的推导过程；

难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点。

三、教学方法：提问、思考、讨论、总结；

四、教学流程：

（一）提出问题，引入新课(3分钟)

问题1：已知数轴上两点A（—2，0），B（3，0）的坐标，求AB间的距离。

（学生先思考片刻，叫一学生回答，老师按学生的思路板书分析，得出答案是5。）

问题2：若A，B两点在X轴上或与X轴平行，

12

,0,,0AxBx，距离又是多少呢

（学生受上题的引导，会在草稿纸上画图分析，思考片刻后，请一同学回答|AB|=

12

xx）

问题3：若A，B两点在Y轴上或与Y轴平行，

12

,0,,0AyBy，距离又是多少呢？

（全班同学齐答|AB|=

12

yy）

师总结：对上述问题的分析，我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点的

坐标求出来，若有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间

的距离呢？本节课我们就一起来探讨这个问题。

(教师板书课题《两点间的距离公式》)

（二）设置问题，合作探究（7分钟）

已知：平面上两点

111222

(,),(,)PxyPxy，怎样求两点

12

PP间的距离？

老师在直角坐标系上画出两点（与坐标轴不平行），如图所示；引导学生能否借助

12

PP

点，作出与坐标轴平行的线段，利用勾股定理即可求出线段的长．具体解法如下：如图所示，

设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、

P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2

相交于点Q．

在Rt△

12

PPQ中，

222

1212

PPPQPQ

．

∵

112

PQMM=

12

xx．∴|

1

PQ|=|

12

xx|．

∴

2

PQ=

12

NN=

12

yy．∴|

2

PQ|=

12

yy．

∴

2

12

PP

=

2

12

xx

+

2

12

yy

=2

12

xx

+2

12

yy

．

老师总结：以上解法是利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间

的距离来求，这里用到了化归的方法．在上述过程中，我们强调点不在坐标轴上或两点的连

线不与坐标轴平行，那么当点满足上述条件时，这个公式是否也成立？老师提出问题，学生

可以分组讨论，最后叫学生代表得出结论，以上公式也适合。

特别的，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离公式为22

12

xx也满足上式；

问题4：同学们是否可以用其他的方法来探求这个问题？（稍侯，引导学生主动发言）

学生对旧知识的回顾可以用向量的模长来表示两点间的距离公式；培养学生善于联想，

新旧知识间的内在联系，激发学习的兴趣。

（三）例题训练，熟悉公式

师：请同学们把课本翻到106页，完成第一题；请两个学生黑板上演板。老师结合学

生练习情况作点评。（3分钟）

例3：以知点A（-1，2），B（2，7），在x轴上求一点，使PAPB,并求PA

的值。（12分钟）

分析：P点坐标是关键，如何设该点坐标?(适当发散，y轴上点，某直线上的点如何表

示)

解：设所求点P（x，0），于是有

2

222102207xx

由PAPB得2225411xxxx解得x=1。

所以，所求点P（1，0）且22110222PA通过例题，使学生

对两点间距离公式理解，应用。

问题5：同学们，以上这种解法是利用刚才所学的两点间距离公式来解决的，我们能否

用其他的解法？（学生思考，讨论，教师巡视，叫一学生板书）

解法二：由已知得，线段AB的中点为

1

2









２＋７

Ｍ，

２

，直线AB的斜率为

k=

1

2









２２７－２２＋７３

＝ｘ－ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２

３２

２－７

７－２

３

线段AB的垂直平分线的方程是y-

1

2









２＋７３

＝ｘ－

２

２－７

在上述式子中，令y=0，解得x=1。

所以所求点P的坐标为（1，0）。因此２２ＰＡ＝１＋２＋０－２＝２２

老师对这位同学的解法作讲解，突出本题可运用平面几何的一个性质定理，线段中垂线

上的点到两短点的距离相等。

问题6：试在X轴上求一点M使MAMB的距离最短，求出M点坐标。

（学生先独立思考后可讨论，并请一学生代表发言）得出解题思路：作B点关于X轴的

对称点(2,7)C，连接AC，即AC两点间的距离为所求的最小值，AB直线与X轴的交

点为所求的M点。

（四）巩固反思，灵活应用（用两点间距离公式来证明几何问题。）

例4：证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。（15分钟）

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数

运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳

出应用代数问题解决几何问题的基本步骤，适时渗透文字语言，图形语言，符号语言的转化。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，

有Ａ（０，０），设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ

＋ｂ，ｃ），（为什么？）又因为

2222

2222ABaCDaADbcBC，，

，

2ACab２

２，＋ｃ２

２

２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ

，

所以，２２２２

２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

２２

２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

.

所以，

２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

.

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

问题7：在例4中，是否还有其他建立坐标系的方法？

（把学生不同的方法在投影仪上放映）让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重

要性，不同的建系，点坐标不同，起实质是一样的。（3分钟）

老师总结：通过例4初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤

第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；

第二步：进行有关代数运算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系；

五、归纳小结：（2分钟）

1、探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用。

2、用坐标法证明平面几何问题初步。

六、作业布置：课本第110页第6，7，8题（A组），第117页第8题（B组）

七、教学反思，板书设计：