古代巴比伦人的数学成就
灿烂的古巴比伦文化
发源于现在土耳其境内的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河(Euphrates),
向东南方流入波斯湾。河流经过现在的叙利亚和伊拉克。
5000多年前这两河流域称为“米索不达米亚”(Mesopotamia)的地方,就
有具有高文化水平的巴比伦民族在这里生活。
巴比伦人建立的巴比伦国在古代曾经非常强盛,它的国王曾建立令后人惊异
的著名古代七大奇迹之一——空中花园。
现在我们生活的“星期制度”是源于古代巴比伦。巴比伦人把1年分为12
个月,7天组成一个星期,一个星期的最后一天减少工作,用来举行宗教礼拜,
称为安息日——这就是我们现在的礼拜日。
我们现在1天有24小时,1小时有60分,1分有60秒这种时间分法就是巴
比伦人创立的。在数学上把圆分成360度,1度有60分这类60进位制的角度衡
量也是巴比伦人的贡献。
古代巴比伦人的书写工具是很奇特的,他们利用到处可见的粘泥,制成一块
块长方薄饼,这就是他们的“纸”。然后用一端磨尖的金属棒当“笔”写成了“楔
形文字”(cuneiform),形成泥板书。
希腊的旅行家曾记载巴比伦人为农业的需要而兴建的运河,工程的宏大令人
惊叹。而城市建筑的豪美,商业贸易的频繁,有许多人从事法律、宗教、科学、
艺术、建筑、教育及机械工程的研究,这是当时其他国家少有的。
可是巴比伦盛极一时,以后就衰亡了,许多城市埋葬在黄土沙里,巴比伦成
为传说神话般的国土,人们在地面上找不到这国家的痕迹,曾是闻名各地的“空
中花园”埋在几十米的黄土下,上面只有野羊奔跑的荒原。
到了19世纪40年代,法国和英国考古学家发掘了古城及获得很多文物,世
人才能重新目睹这个在地面上失踪的古国,了解其文化兴盛的情况。特别是英国
人拉雅(Loyard)在尼尼微(Nineveh)挖掘到皇家图书馆,两间房藏有二万六
千多件泥板书,包含历史、文学、外交、商业,科学、医药的记录。巴比伦人知
道500种药,懂得医治像耳痛及眼炎,而生物学家记载几百种植物的名字,及其
性质。化学家懂得一些矿物的性质,除了药用外,而且还利用提炼金属。制陶器
及制玻璃的水平很高。
有这样高文化水平的民族,他们的数学也该是不错罢?这里就谈谈他们这方
面的贡献。
巴比伦人的记数法
巴比伦人用两种进位制:一种是十进位,另外一种是六十进位。
十进位是我们现在普通日常生活中所用的方法,打算盘的“逢十进一”就是
其于这种原理。
巴比伦人没有算盘,但他们发明了这样的“计算工具”协助计算。在地上挖
三个长条小槽、或者特制有三个小槽的泥块,用一些金属小球代表数字。
比方说:巴比伦城南的农民交来了429袋的麦作为国王的税金,而城东的农
民交来了253袋的麦。因此国王的仓库增加了429+253=682袋粮食。我们用笔算
一下子就得到答案,可是巴比伦人却是先在泥板的小槽上分别放上:4个,2个,
9个的金属球,这代表了429。然后在置放4个金属球的小槽上添加2个小球;
中间槽上添加5个小球;最后的槽上添加3个小球。
现在最后一列的小槽有12个小球,巴比伦人就取掉10个,在中间那个槽里
添上1个小球——这也就是“逢十进一”。
最后泥板上的数字682就是加的结果。这不是很好玩吗?我们可以利用这方
法以实物教儿童认识一些大数的加法。
六十进位制目前是较少用到,除了在时间上我们说:1小时=60分,1分=60
秒外,在其他场合我们都是用十进位制。
可是你知道吗?就是古代的巴比伦人定下一年有三百六十五天,十二个月,
一个月有二十九或三十天,每七天为一个星期,一个圆有三百六十度,一小时有
六十分,一分有六十秒等等。我们现代还是继续采用。
数法。(图一)
这泥板的中间从上到下有像(图二)的符号:读者可以看出这是代表:1,2,
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
这泥板书受到盐和灰尘的侵蚀,但可以看到泥板书的右边前五行是形如:
很明显的这应该代表10,20,30,40,50。
可是接下来的却是这样的符号:
如果用我们前面知道的符号是写成:
11,101,20(缺三个)22,10
这是什么意思呢?考古学家猜测那几个符号照上面10,20,30,40,50的
次序应该是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
是否那个1的符号也可以代表60呢?如果是的话那么1,10
就是代表60+10=70。而1,20是代表60+20=80。而那个将代表2×60=120
了。很明显2,10是代表120+10=130。
这样的猜测是合理的,由于巴比伦人没有符号表示“零”,而他们采用的是
60进位制,因此同样一个符号可以代表1或60。
没有“零”符号在记数上是很容易产生误会,比方说:可以看成1,20=1
×60+20=80或1,0,20=1×602+0×60+20=3620。
到了2000年前巴比伦人才采用表示“零”
因此像代表2,3,0,41即2×603+3×602+41=442841
从巴比伦人小于60的数字的记数可以看出他们懂得“位值原理”。
巴比伦人怎样进行除法运算
从一些泥板书里可以看出下面的对应:
如果你在现在的伊拉克的土地上发掘这样的泥板书,你能了解这是什么意思
吗?四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比伦人的“倒数表”。我现在把以
上的表改写:
说27对应2,13,20意思就是:
你会注意到以上的表缺少了:7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,
31,33,34,35等等,这是什么原因呢?
原来是这样:巴比伦人只列下以60进位制的分数表示式是有限长的那些整
数,而这些整数只能是2a3b5c(这里a,b,c是大于或等于零的整数)的样子。
对于7来说,它的倒数如果是以60进位数表示将得到循环分数,即8,34,
17,8,34,17,…一直到无穷。对于11也是如此,我们得到5,27,16,21,
49然后重复以上的样式以至无穷。
为什么要构造这样的“倒数表”呢?
我们在小学学计算:先学加,然后学减。先学乘,然后学除。如果
道b的倒数,我们就“化除为乘”,计算有时是会快捷一些。
古代的巴比伦人也懂得这个道理,因此在实际生活上,如在灌溉,计算工资,
利息,税项,天文等问题上遇到除的问题,就尽可能将它转变为乘的问题来解决,
这时候“倒数表”就很有用了。
我这里没有讲巴比伦人怎么样在60进位制上如何加、减、乘、除。兴趣数
学的读者可以动脑筋想像如果你是生在4000年前的巴比伦,你在小学是怎么样
学加、减、乘、除,你可以告诉我你的发现。
巴比伦人在代数方面的贡献
有一块列号为AO8862的泥板书向后人揭开了巴比伦人解代数方程的方法,
人们惊奇的发现他们的解法是很巧妙的。
泥板书的问题是这样:“已知长×宽+长-宽=3,3而长+宽=27问长,宽是
多少?”
这里是采用60进位,故(3,3)60=183
因此我们令长=I,宽=w,则有下面的关系式:
Iw+I-w=183,I+w=27
巴比伦人引进一个未知数v=w+2,因此w=v-2代入以上的式子得
I(v-2)+I-(v-2)=183
I+v-2=27化简得Iv-I-v=181I+v=29
由于I+v=29,所以-I-v=-29故我们有
Iv=181+29=210,I+v=29
巴比伦人有方法解像下面的代数联立方程
I+v=p……①
Iv=q……②
因此以上的解应该有误差,假设这误差是Z,则:
现在代回我们得
因此原来的问题的解是:
故w=v-2=14-2=12,而I=15。
巴比伦人解一元二次方程的方法也是很妙的:
比方说求x2-ps+q=0的根,设这两个根为I和v,则
(x-I)(x-v)=0
于是有x2-(I+v)x+Iv=0
与x2-px+q=0比较,我们就有
I+v=p,Iv=q
这样就可以用刚才的解联立方程的方法求得I,v了。
在耶鲁大学的巴比伦文物收藏,人们发现一块泥板书曾考虑像下面的:
xy=a
的高次方程。
奈克包威尔(Nengebauer)在法国罗浮宫收藏的巴比伦文物发现有两个反映
巴比伦对级数有研究的泥板书,记载底下的结果:(这是在Nabuchodonosor
时代)
1+2+22+…+29=29+29-1
从这里可以看出巴比伦人知道这样的结果:
巴比伦人的代数有这样高的程度,的确是令后人感到叹服。
具有高水平的数学知识
现在收藏在美国耶鲁大学图书馆的巴比伦文物,有一块泥板书向后来的人揭
露古代的巴比伦人在两三千年前就具有很高水准的数学知识。
两位巴比伦考古学家奈克包威尔(Neugebauer)和萨赫士(Sachs)把这块
有一个正方形及两条对角线的数字翻译出来得到了下面的数字(图三)。
我们知道正方形的两条对角线互相垂直,而一个两腰都等的直角三
本》证明它不是有理数(rationalnumber),即找不到两个既约整数p,q
使得
欧几里得是用反证法证明,假定以上的关系成立。在等式两边平方
此我们可以得到(2k)2=4k2=2q2,即q2=2k2,同理q也是偶数。这样p,q
就有一个公约数2,这就和p,q是既约整数的假设矛盾。因此
虽然如此,我们仍旧可以用一些分数或小数来表示这个无理数的近似值。在
数学上有一种用实数逐渐迫近的方法,牛顿曾经用过,因此有
如果我们把以上10进位制的表示用60进位制表示,那么
现在你看图四的数字可见巴比伦人早在几千年前知道牛顿法了。
图四中对角线下42,25,35是什么意义呢?我们看到正方形左边
伦的写法是
(30)×(1;24,51,10)因此写成式子是
30×1=30
故(30)×(1;24,51,10)
=(42,25,35)
巴比伦人在几何的贡献
巴比伦人以三为圆周率的近似值,知道算圆面积圆柱体和角柱体的体积,而
且由于在天文上的需要,给出角度θ在31°和40°之间的余割表(cocant
table)。
巴比伦人和中国人民一样很早知道直角三角形边和斜边的平方关系(即“商
高定理”:直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。)令人感到奇怪的是巴比
伦人考虑的一些几何问题,中国古代数学家也有类似的东西。
例如在距今3000多年前的泥板书有一个这样的几何问题:“一树枝长0;
30单位靠在墙上,顶端滑下0;6单位后,问此树枝底端离墙多远?”
另外一个问题是这样:“一梯原先是靠在墙上,当我从顶端的原位置拉下3
单位,底端滑离墙9单位,问梯原长多少?”
这些问题需用商高定理来解决。有一块公元前1900年到公元前1600年之间
的泥板书,现在藏在美国哥伦比亚大学,列号为Plimton322。在1943年时一
些人认为这是巴比伦人的商业纪录。
在1945年有人拿这块泥板书给奈克包威尔看,他经过一段时间研究发现这
是有关数论的最早资料,巴比伦人在这泥板书上写上一些整数,这些整数能组成
直角三角形的边。
它本身并不大,只有5吋长3吋半宽。有四列数据,从右边到左看,第一列
是代表“行数”,第二列是代表“斜边”d,第三列是代表“直角三角形的一边”
b,最初不容易知道最左边那列数的意义。后来奈克
示巴比伦人早在三千多年前就已经知道求“商高方程”的整数解了。
商高方程的正整数解
怎样寻找方程x2+y2=z2的正整数解呢?
这里我介绍一个简单的寻找方法,很可能古代的巴比伦人也是用这方法得到
商高方程的一般解公式。
我们假定x,y,z的解是这个样子:x=a+t,y=b+t,z=a+b+t这里a,b,t
都是未知数我们随后要决定。把x,y,z的值代进商高方程可以得到:
(a+t)2+(b+t)2=(a+b+t)2简化可以得到:t2-2ab=0
如果现在设a=2u2,b=v2,那么从以上的式子我们可以得到t=2uv
因此本来是三个未知数a,b,t现在变成可以用两个未知数u,v来取代。
我们代回得:
x=a+t=2u2+2uv=2u(u+v)
y=v
(2u+v)
(公式1)
z=u2+(u+v)2
可是在一般的数论书和人们写的文章x,y,z,的整数解是写成底下的形式:
x=2mn
y=m2-n2
(公式2)
z=m2+n2
这是怎么得到的呢?
如果在公式1里我们令m=u+v,n=v则我们可以把公式1变成公式2。反过
来,如果我们用其他方法得到公式2,我们令u=m-n,v=n则我们可以得到公式2。
因此公式1和公式2是等价的。
对于一些懂三角学的人们,他们可以利用三角公式得到商高方程的整数解。
现在看底下的直角三角形OAB
我们有OB=y=zcosθ
AB=x=zsinθ
以得到三边为整数的直角三角形。
自学材料
(1)用巴比伦方法解下面的联立方程:
x+y=72x-y=720
(2)给定一个联立方程:x+y=s,xy=p研究p,s要有什么性质才能使:(a)
x,y都是正数,(b)x,y都是实数。
(5)我们用(x,y,z)表示x2+y2=z2的解。可以看到(3,4,5),(5,
12,13),(7,24,25)都是商高方程的解,而1=5-4=13-12=25-24即4,5;
12,13;24,25是相邻整数。
试试找出所有小于100的(x,y,z),具有性质z-y=1
(6)试试找出所有小于100的(x,y,z)具有性质y-x=1
(7)请看下面的表:
X
Y
Z
(x,y,z)是商高方程的解,它们之间有美丽的关系你能发现出来吗?你
能找出其它的解吗?
(41,840,841)有类似以上的结果,试试检验。
(8)1643年法国数学家费马给他的朋友麦爽的信问这样一个问题:“是否
能构造一个直角三角形,它的两腰之和是一个平方数,而它的斜边也是一个平方
数”你能解决这问题吗?
费马经过很久的时间,最后利用他创立的“无穷下降法”总算找到一个最小
值(x,y,z)的答案,x,y,z的数值是很大每个都是13位数。有人估计第二
个答案将是非常大,那数值如果以吋为单位将超过我们银河系的直径。
(9)令P(4K+1)表示所有形如4K+1的素数。
(a)找所有在P(4K+1)的P,P≤100;
(b)5,13,17在P(4k+1)里5=12+22,13=22+32,17=12+42试将(a)的素
数表示成两个整数的平方和。
科学上常用的常数
——圆周率
人对圆的认识
早上起来,在外面的草地上可以看到青草叶上有一粒粒圆滚的露珠,晶莹动
人。
人类通过太阳、月亮、水珠、冰雹,以及水面上圈圈的涟漪的形象,很早就
认识了“圆”。战国时期墨家学派的代表作《墨经》最早给出了圆的几何定义:
“一中同长也。”这是说:一个动点对一个固定的点(中心或圆心)以一定距离
运动所划出的轨迹,这固定的距离在数学上是称为圆的半径。从圆上一点划线通
过圆心直到交与圆上另外一点,这线段是半径的两倍,称为圆的直径。
从古代文物看圆
最近我在伦敦的大英博物馆,以及奥地利的维也纳自然科学博物馆看到一些
属于石器时代的出土石斧、石铲、石矛。我惊异地看到古代人类在他们的工具凿
上很整齐的圆形孔。
近年来在中国河北省藁城县台西村发现了距今四千多年前的商代遗址,发掘
出三千多件极为珍贵的古代器皿和武器,其中有一些纺织工具——纺轮,圆的形
体做得很准确,反映当时人民的商代遗址,发掘出三千多件极为珍贵的古代器皿
和武器,其中有一些纺织工具——纺轮,圆的形体做得很准确,反当时人民的手
艺是已经很进步。还有16片刻有文字的陶片,这些文字是比殷墟出土的甲骨文
还古老,其中就有“圆”的图字。(图一)
从甲骨文里出现“车”这个字,而且写成像圆轮的样子,反映古代中国人民
很早就会利用圆的性质来做省力的工具,以提高工作效率。
为了建筑以及制车轮等的需要,必须有画图的一些器具,因此《孟子》一书
里写道:“离娄之明,公输子之巧,不以规矩,不能成方圆。”这里的“规”和
“矩”就是绘制圆和方形的工具。劳动人民除了这两部工具外,还发明了准绳,
水准器和墨绳等工具。
中国的考古学家发现属于商代晚期(距今3300年左右)的甲骨文中,就有
“规”和“矩”这两个字。“规”字右边部分是手的形象,左边上面是圆规的样
子,底下代表圆规画出的圆弧。如果你看到《墨经》上写的:“圆,规写交也。”
你会对这位创造这个字的人的智慧叹服。而“矩”字就像目前木匠还用的两把角
尺。
这些文字的出现,明确地证明了古代中国人民很早就发明这样有用的工具。
就像《墨经》所写的几千年前,“轮匠执其规矩,以度天下之方圆。”
司马迁的《史记》记载距今4000年前的英雄人物——夏禹,说他忠民忘我,
胼手胝足苦干:“陆行乘车,水行乘舟,泥行乘橇(音敲),山行乘椐(音局)。
左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道。”夏禹治水的时候,必须要有准
绳和规矩的工具,《史记》的描写并不是毫无根据的。
用圆规画任何圆,我们把它的圆周长除以它的直径,会发现不管圆的大小,
这数值是一定不变的,即数学上称为常数(constant)。古代中国、埃及、巴比
伦、希腊、以色列、印度人民先后发现这个事实。这个比值数学上称为圆周率,
并以希腊字母π来表示。
科学上到处见芳踪
意大利物理学家伽利略(Galileo)在1581年的某一天在比萨斜塔旁边的教
堂祈祷时,观察到教堂悬挂的钟来回摆动的周期好像是不变的,后来他发现单摆
周期T的公式:
这里l是摆的长度,g是重力加速度。现在可以利用这公式来测量地球的
地心吸力所产生的重力加速度的大小。
16世纪的德国天文学家和数学家开普勒(J.Kepler1571-1630)在1609年
到1619年之间发表他的行星运动三大定律,利用这定律人们可以计算距离地球
遥远的太阳系行星的周期,而计算公式里就有圆周率。
读者小时候不知有没有玩过下面的这玩意儿吗?把塑料制成的梳子或者尺,
拿来在头上擦几次,结果它会吸引一些细小的纸屑。你会说:“这就是摩擦产生
电。这种电是静电,有阴阳(或者正负)两种,如果两个物体带不同样性质的电
就会互相吸引,带同样性质的电就会互相排斥。”
物理上有一个库伦定律可以计算这些带电体间吸力或斥力F的大小,它的公
式是:
这里∈0是常数,Q1,Q2是电量,r是两个物体距离,读者可以看到圆周率又
出现了。
一个小圆铁球从高处掉下来,由于地心吸力的作用,它是以加速运动,速度
会越来越快。可是如果这小铁球是在一个石油筒里掉下,或者穿过一些有粘滞的
液体里,那么在一段时间内,液体的摩擦力会使这物体以均速状况运动,这个速
度叫终端速度V。它可以由底下公式算出:
mg=6παkV
这里m是小圆球质量,a是圆球半径,k是液体的粘滞系数。你看我们又遇
到圆周率了。
为了研究微观世界原子核的内部结构,为了制造在医药、生物,以及工业等
有用的放射性元素,科学家把带电的离子加速,使它具有很高的动能去撞击一些
原子。科学家用磁共振加速器(magneticresonanceaccelerator)。要使带电
离子加速必须使它同步化(synchronization),这条件是:
这里fa是加速场的频率,fo是离子转动频率,e是离子的带电量,m是离子
质量,B是磁场强度。
在量子力学,研究粒子的波动方程,就包含圆周率。
当从事生物、化学、物理、地质等科目的实验,获得许多数据时,往往要用
到正态分布(normaldistribution)的统计方法,这里面又不可缺少圆周率。
可以说,只要你是从事科技工作,你绝对不会完全不用到圆周率这个常数。
中国数学家对圆周率的计算
在公元前一百年左右完成的现在仍保留下来的中国最古老的数学书《周髀算
经》,里面最早记载了古代中国人民对圆周率的认识。在这书里写道:“径一周
三”。这显示出在春秋战国到秦朝那段时期,人们认为π=3。
后汉的张衡(公元78-139年)是个天文学家,他在广阔的原野观察天象,
觉得天像个半球形,盖在地平面上,就像古代民歌《敕勒歌》所描写的:“敕勒
川阴山下,天似穹庐笼盖四野。天苍苍野茫茫,风吹草低见牛羊。”的情景一样。
他认为从地平面和天球相交的地方引一直径,那就是天球的直径。天球的圆周和
直径的比是92∶29,即约等于3.1724。
到了三国魏未晋初时的刘徽,他计算到圆周率的近似值是3.141024。他所
用的方法,现在称为“刘徽割圆术”,在数学理论上是重要的。日本的数学家三
上义夫对刘徽成就非常赏识,曾经这样称赞他:“是古代和现代东方和西方的数
学界一个伟大的人物”并且建议将3.14这个数值称为“徽率”以纪念他。
刘徽的方法是这样:先作一个半径是1单位的圆,然后作内接正六边形,由
这作基础算出2n×6(n=1,2,…)内接正边形,由旧的正多边形得新的正多边
形必须分割边,刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则
与圆周合体而无所失矣!”这样就可以用正多边形的边逐渐逼近圆周,而这多边
形的边长是可以算出来,用这方法可以得到圆周率。
现设AC(图二)是圆O内接正n边形的一边,B是弧AC的中点,则BC是
内接正2n边形的一边,BO与AC相交于D,CD是垂直BO,由商高定理可得:
这里半径R是1单位,Sn是正n边形的边长。
刘徽由这公式出发,由正六边形,算到正十二边形,一直到正九十六边形,
我们把这结果用底下的表写出:
如果这时拿这圆周除以直径2,就可得π=3.14159。
刘徽之后两百年出现了南北朝时代南朝的祖冲之(公元429-500年)继续了
刘徽的工作,算到圆内接正24576边形的边,结果得到圆周率π是在下面两数之
间:
3.1415926<π<3.1415927
对于许多读者可能体会不出祖冲之这些工作的意义及获得这些结果的艰苦。
我建议对懂得开方的读者试试去算S1536,S3072,S6144,这时候你就可以体会一点祖
冲之在1400多年前能算S24576是多么了不起的事!
另外方面,在当时没有算盘的计算工具,要计算是靠小小的竹条(筹)来帮
忙,这计算的工作是非常繁重。由于他不畏艰苦,有坚强的毅力才能获得这光辉
的成果,这就像一位思想家所说的:“在科学上没有平坦的大道,只有不畏劳苦
沿着陡峭山路攀登的人,才有希望达到光辉的顶点。”
祖冲之不单是数学家,还是天文学家,文学家,机械发明家。
在数学上他和儿子祖暅得到球的体积公式:
在天文方面,他提出了当时最好的历法“大明历”,而且算出地球绕太阳一
周所需的时间是365.24281481日,和现在由精制仪器得到的数据365.2422,他
的数字准到小数第三位,在1000多年前他这成果是值得中华民族骄傲的。
他为王帝制造了指南车、水碓磨与千里船等,史书《南齐书》写道:“千里
船于新亭江试之,日行百余里。”及制造类似孔明的“木牛流马”的运输工具。
祖冲之还是有相当政治眼光的人,他曾写了一篇《安道论》献给齐明帝,必
须“开屯田,广农织”,只有安定边疆,让军队人民一边守边,一边种田,才能
巩固国防,现在读来还是正确的。
祖冲之在世时并不得意,没有大官做,而他的“大明历”还受宵小之流如戴
法兴等的激烈反对,生前还看不到它的采用。而最令人痛惜的是记载他及儿子的
数学成果的书《缀术》却在宋朝时失传了。
今天我们只能从《隋书》《律历志》看到他的工作的记录:“宋末南徐州从
事史祖冲之更开密法,以圆径为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒
七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率:
圆经一百一十三,周三百五十五;约率:圆径七,圆周二十二。”
以及在《宋书》《历志》内载祖冲之自己讲他学习数学的经过:“臣少锐愚
尚,专功数术,搜炼古今,博采沈奥,唐篇夏典,莫不揆量,周正汉朔,咸加核
验,……此臣之所以俯信偏认,不虚推古人者也。”又:“臣用是深惜毫厘,以
全求妙之准,不辞积累,以成永定之制。”对于工作他是“亲量圭尺,躬察仪漏,
目尽毫厘,心穹筹算。”
托尼兹1000年后才得到。
日本数学史家三上义夫建议将3.1415926叫“祖率”以纪念他的成果。三
上义夫曾经研究日本数学家关孝和的工作,认为他极有可能在获得“缀术”后,
数学突然大进,并且也从事计算圆周率的工作。
我希望这本失传的珍贵数学书籍,有一天会在日本重现,那将有助于我们了
解祖冲之父子的工作。
6年前在法国巴黎的“发现宫”科学博物馆,看到墙上写有祖冲之的名字及
其所计算的π值。今天人们在月球背面的一个火山口用“祖冲之”命名,在月球
上许多火山口或海用科学家如:阿基米德、居里、依拉托森等命名,祖冲之是在
月球上唯一的中国科学家名字。
祖冲之死后1000年,清朝有朱鸿求圆周率至小数点后40位,只在前25位
是对的。
清朝外国的微积分传进中国,曾纪鸿用格里高理的级数求π至百位,可是在
那时欧洲人已能算到707位了。民国初年一位数学家曾感叹的说:“欧人已因计
算之困难,寻得许多迅速收敛的级数,更进而证明π之超越性矣。吾国人则毫无
建树!”
表示圆周率的美丽公式
法国数学家和物理学家帕斯卡(Pascal1623—1662)知道下面的积分公式:
英国数学家格里高理(Gregory1638一1675)和牛顿发现曲线
这是用所有的奇数倒数来表示圆周率,这个式子也同时被德国哲学家和数学
家莱布尼兹(z1646—1716)发现。莱布尼兹和牛顿是微积分学的
创始者。
这里列下两百年来数学家发现的一些美丽公式:
如果用n!来表示n(n-1)·…3·2·1读着n的阶乘,清朝的数学家夏鸾
翔得到:
康熙时的满族数学家明安图(1700?—1770),他创立了“割圆密率捷法”,
他的公式是:
欧拉在圆周率上的研究
在200年前,瑞士数学家约翰·伯努利(JohnBernonili)发现调和
发现它的和是越来越大,最后是大过你能想像的任何整数。(即其值是无穷
大∞)。
n=2,3的情形是欧拉发现的,在当时他的发现结果是令许多数学家震惊的,
这里试试用较浅白的说明解释,读者看不懂就跳过去,只要认识一点欧拉在这方
面的美丽成果就行了。
研究欧拉是怎样得到这些结果是很有意义的。这里用到一点代数和三角的知
识。
如果一个一元n次方程a0+a1X+a2X2+…+anXn=0有n个不同的根α1,α2,α3,…
αn(α是希腊字母念“阿尔法”),而没有一个根是等于0,即a0≠0。
整个式子可以表示成:
假定我们的方程是2n次,而且形状像下面:
b0-b1X2+b2X4-…+(-1)nbnX2n=0而且有2n个不同的根β1,-β1,β2,-β2…,
βn,-βn(β是希腊第二个字母,念“贝塔”)。
那么我们就有:
比方说4-5X2+X4这方程可以写成
欧拉知道三角方程SinX=0是有无穷多个根0,π,-π,2π,-2π,3π,
-3π,…
而正弦函数SinX有底下的级数表达式:
π,-π,2π,-2π,3π,-3π,…
我们把上面的式子的X消掉,我们得到的方程
就有根π,-π,2π,-2π,3π,-3π,…
因此欧拉认为类似(式子A)应该有:
在1745年时欧拉对这个式子:
两边取对数,得到底下式子:
然后将两边的式子展开得:
两边比较系数得:
古代的一个数学难题
希腊数学家,用直尺和圆规作几何图时,所用的直尺是没有刻度的。有一个
很著名的问题是:给定一个圆,用直尺和圆规为工具构造一个正方形使它的面积
等于给定圆的面积。
这个问题简称为“化圆为方的问题”。如果设圆的直径是2单位,正方形的
边为X,就由关系:
X2=π(1)2=π
以上的问题是等价于:能否作一线段使其长度等于给定的一个圆的圆周。
这个问题是这么容易明白,许多人尝试去解决但没有成功。1775年法国的
科学院为了不要使它的成员花时间去检验许多人寄来的所谓“化圆为方的问题的
解决”,特别出公告,要求人们不要再寄这样的东西来,就算寄来也决定不负责
检验。理由:已收到的解决方法,没有一个是对的。科学院认为这问题不是一般
人能解决的了。
qX-P=0和X2-2=0
我们现在定义一个数X是代数数(Algebraicnumber)如果存在代数式子:
a1Xn+a2Xn-1+…+an-1X2+anX+an+1=0而X是它的根,这里a1,a2,…,an+1是整数,不是代
数数的数就称为超越数(Transcendentalnumber)。
因此“化圆为方的问题”是否能解决,就归结为是否π是代数数。
在1873年法国数学家厄米特(e)证明e是超越数,即不存在整数
m,n,r,…,a,b,c,…使得式子:aem+ben+cer+…=0成立。德国数学家林德
曼(Lindemann)在1882年推广以上的结果:如果X1,X2,…Xn,是任何不等的
代数数,P1,P2,…,Pn是n个最
们总算证明单用没刻度的直尺和圆规是不能解决化圆为方的这个几何难题。
因此单纯用直尺和圆规是没法子构造长度等于π单位长的线段。可是在实际
生产问题上,有时需要知道怎样构造线段近似于π单位的方法,这里我们介绍一
个简单易学,而精确度相当高的方法。这方法是1685年一个波兰僧侣库赞斯基
(Kochansky)所发现的:
在单位圆O作一个角BOC等于30°(图三)。
过B作圆O的切线CBD,使线段CD的长是3单位,作直径BOA,连AD,则
AD的长近似于π。
定理,我们有AD2=AB2+BD2
这方法得到的长度对π来说是准确到小数点四位。
电子计算机算圆周率
人是很聪明的动物,他跑得没有兔子快,但却能发明弓箭,弥补他的速度及
不上其他动物的缺陷;他没有虎狼锐利的牙齿和爪趾,但却发明了刀矛来对付凶
狠的动物;他没有大象的有力,但能动脑筋发明车辆、杠杆来解决力气不足的问
题。
在计算方面也是如此,当面对数目较大,运算次数较多的时候,单靠纸笔计
算是显得太缓慢了,于是人类发明了算盘、计算器和电子计算机来协助计算。
美国在1944年设计成功第一架电子数字积分计算机,在1949年就用来计算
圆周率,底下的表是各国利用电子计算机算圆周率的情况:
一般科技方面,圆周率只用到小数点五位就够了。计算到圆周率的值到小数
点后五十万位,对于纯粹数学和应用数学来说是没有什么意义的,主要是用来检
验电子计算机的效率以及问题设计程序的优劣。
自学材料
(1)这里介绍几本书籍对于一些读者想要更深入了解中国古代数学家在圆
周率研究方面的成果,祖冲之的事迹,刘徽、祖冲之工作在数学上的重要意义,
或许会有裨益:
(a)李俨:《中算史论丛》(第一册)
(b)谭一寰:《祖冲之》,人民出版社,1976
(c)华罗庚:《从祖冲之的圆周率谈起》
(d)龚升:《从刘徽割圆术谈起》
(2)证明一圆切于两同心圆之间,它的周长等于两圆半周之差。
(3)在一线段AC上任取一点B,然后分别以AB、BC,AC为直径作半圆,
证明弧AB+弧BC=半圆AC。
太极图里的像S的曲线是由二相等半圆组成,这半圆的圆心与大圆圆心同在
一直线上,证S的长等于大圆一半。
(4)古代希腊数学家希波特拉格斯(Hippocrates)发现:在直角三角形三
边上,各以这些边为直径作同方向的半圆,则所成的二新月形面积的和等于原三
角形的面积。
(5)在以x,y轴为直角坐标的平面上一点(a,b)称为代数点(algebraic
point),如果a,b同时都是代数数。假定你知道欧拉的
(一)曲线y=ex上只有(0,1)是代数点
(二)正弦曲线y=SinX只有原点(0,0)是代数点。
(6)如果令P为大于或等于2的整数,并且令Jp=
有一个英国数学家发现:J0=1
你试试用以上的结果求出
(7)英国物理学家斯耐(Snell),发现光从一种介质进入另一种介质时会
产生折射现象,他建立了入射角、折射角和折射率之间的关系。他也发现怎样作
一线段近似等于一个圆弧的方法:假定这圆弧AB是在圆O上,过B作一直线通
过O,并在上面取BD的半径的3倍;过B作直线垂直BD,与直线DA交于T,BT
就是所求的线段。
研究在什么时候斯耐的方法失效。
本文发布于:2022-11-14 15:31:22,感谢您对本站的认可!
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