勾股弦

勾股定理的证明方法

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直

角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为

的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两

个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式

，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直

角边为

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所

以可以列出等式，化简得。

三、相似三角形的证法：

4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角

形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三

角形相似。

C

A

B

D

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD×BA，①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②

我们发现，把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

四、古人的证法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以弦

为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定

了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除

之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较

为简明、直观。

五、项明达证法：

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），

斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、

A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC，

∴∠MPC=90°，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90°，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

六、欧几里德射影定理证法：

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角

形相似则有射影定理如下：

1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。

由公式（2）+（3）得：

（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，

即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2

七、杨作玫证法：

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜

边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作

AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作

DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

9

8

7

6

54

3

2

1

P

Q

R

T

H

G

F

E

D

C

B

A

a

b

c

a

b

c

c

c

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一个边长为a的正方形.

∴GF=FH=⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

54321

2SSSSSc

①

∵

abaabbSSS•

2

1

438=

abb

2

1

2

，

985

SSS

，

∴8

2

432

1

SabbSS

=81

2SSb

.②

把②代入①，得

9881

2

21

2SSSSbSSc

=92

2SSb

=22ab

.

∴222cba

.

八、陈杰证法：

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长

分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在

一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，

则AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=

ab

―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

A

B

C

D

E

F

G

H

M

a

b

c

a

b

c

a

c

a

b

c

1

2

3

4

5

6

7

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵5432

2SSSSc

，621

2SSSb

，73

2SSa

，

76451

SSSSS

，

∴62173

22SSSSSba

=



76132

SSSSS

=5432

SSSS

=2c

∴222cba

.

九、辛卜松证法：

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正

方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD

的面积为

abbaba222

2

；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个

部分，则正方形ABCD的面积为

2

2

2

1

4cabba

=22cab

.

∴22222cababba

,

∴222cba

.

ab

2

1

ab

2

1

ab

2

1

ab

2

1

2c

2b

2a

A

A

D

D

B

B

C

C

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

c

c

c

c

b

a

ab

ab

b

ab

a