椭圆周长公式

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一

条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

椭圆周长

椭圆是个不怎么完美的图形，因为它的面积有确切公

式可以计算，但其周长却不能“精确”的计算出来，经过数

学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有精确的初等公

式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长进

行的计算，原理很简单，但计算过程可能很复杂。

在平面坐标系内

椭圆的标准方程为

1

2

2

2

2



b

y

a

x

，

.0,0ba

参数方程为

20,sin,cosbyax

当

ba

时，椭圆图像为

微积分是个好工具，他帮人类解决了很多复杂问题。

这里椭圆周长的计算需要用到定积分的知识。

若某条光滑曲线，能用参数方程表示

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一

条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

tXx

，

tYy

当

t

时，该段曲线的长度L可表示为

dttYtXL





22''

下面借此公式来计算椭圆的周长，由于椭圆关于坐标原

点对称，计算起来比较方便。设椭圆周长为L,则















dea

dba

dbaL













2

0

22

2

0

2222

2

0

2222

cos14

coscos14

cossin4

…………………○1

其中

a

c

a

ba

e





2

22

，椭圆的离心率。

这个积分很难求出来，需要用一定的技巧：先用泰勒公

式把22cos1e展开。













32

!3

)2)(1(

!2

1

11x

kkk

x

kk

kxxk……

当

2

1

k时，可得











2

1

!2

!!321

2

11

n

n

n

n

n

xnx

x

在此式中令

22cox

可得

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一

条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！











2

2222

22

!2

cos!!32

2

cos

1cos1

n

n

nn

n

ene

e





……………○2

其中12531!!12nn

把○2式代入○1式周长L的计算试中后，那个复杂的定积

分便能迎刃而解了，所以































































2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

22

2

0

22

cos

!2

!!32

cos

22

4

!2

cos!!32

2

cos

14













n

n

n

n

n

n

nn

d

n

en

d

e

a

d

n

ene

aL

……………○3

这个式子还是很复杂，需要把中括号部分进行化简变换

一下。先求出



2

!2

!!12

22

12

6

5

4

3

2

1

cos2

0

2





















n

n

n

n

d

n

n



………………○4

把○4式代入○3式，周长L就能很快得出来了。于是

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一

条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！























































































































••

••











































••



































1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

12!!2

!!12

12

122642

12531

12

2

12!2

1232531

22

1

22

4

n

n

n

n

n

n

n

n

e

n

n

a

n

e

n

n

a

nn

enne

aL







这就是椭圆周长的公式，既著名的“项名达公式”，相

当的复杂，这应该是最精确的了，另外还有很多的近似公式，

不过误差太大，但可以满足工程上的应用。现在科技如此发

达，有一些数学软件可以计算出椭圆周长，而且结果相当的

准确。计算原理就是定积分的应用，但这个积分不容易求出

来，需要有一定的数学能力，有一定的耐心，以及对泰勒公

式的应用要求较高。对周长级数形式L进行展开得































•••













••













•















78

7

6

5

4

3

2

1

56

5

4

3

2

1

34

3

2

1

12

1

12

8642

2eeee

aL

……………○5

其中

a

为半长轴，2

22

a

ba

e





为椭圆的离心率。

例如,当椭圆方程为

1

1625

22



yx

时，5a，4b，

5

3

e

则周长为

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一

条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

36.28

78

7

6

5

4

3

2

1

56

5

4

3

2

1

34

3

2

1

2

1

12

8

2

6

2

4

2

2

2































•••













••













•















eee

eaL

另外有些近似公式作的也很好，例如















abbaL

2

3



其实它是根据○5式近似计算来的，计算精度还行，推导

过程有点复杂。

椭圆周长的计算方法有很多，这只是其中一种而已，但

得到的结果都不“完美”，任然需要科学爱好者努力攻克这

个小小的问题。

当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾

之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是

科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义

的。认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科

学是发展的，科学是循序渐进的过程。科学探索的过程是寂

寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正

确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。