抛物线的标准方程

抛物线及其标准方程

一、教学目标

(一)知识教育点

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

(二)能力训练点

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面

的能力．

(三)学科渗透点

通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思

想教育．

二、教材分析

1．重点：抛物线的定义和标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；

通过一些例题加深对标准方程的认识．)

2．难点：抛物线的标准方程的推导．

(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐

标系．)

3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．

(解决办法：向学生加以说明．)

三、活动设计

提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．

四、教学过程

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物

线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数

的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛

物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离

的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞

1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直

角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取

绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着

直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请

同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在

定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的

方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-

30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的

集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐

标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线

的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平

分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程

不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准

线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情

形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x

轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右

端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在

负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

方程是x2=-8y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

(3)焦点到准线的距离是2．

由三名学生演板，教师予以订正．答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，

x2=4y，x2=-4y．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系

数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的

焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标

或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

(五)小结

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

五、布置作业

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；

(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

作业答案：

3．(1)y2=24x，y2=-2x

(2)x2=-12y(图略)

4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为

x2=-12y或y2=16x

六、板书设计