2021全国乙卷

2021

年高考理数真题试卷（全国乙卷）

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。（共

12

题；共

60

分）

1.

设

2

（

z+

）

+3(z-)=4+6i

，则

z=

（）

.

A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i

2.

已知集合

S=

｛

s|s=2n+1

，

n∈Z

｝，

T=

｛

t|t=4n+1

，

n∈Z

｝，则

S∩T=

（）

.Z

3.

已知命题

p

：

x∈R

，

sinx

＜

1

；命题

q

：

x∈R

，

e|x|≥1

，则下列命题中为真命题的是（）

.(pVq)

4.

设函数

f(x)=

，则下列函数中为奇函数的是（）

A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1

5.

在正方体

ABCD-A1B1C1D1中，

P

为

B1D1的中点，则直线

PB

与

AD1所成的角为（）

A.B.C.D.

6.

将

5

名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶

4

个项目进行培训，每名志愿者只分

到

1

个项目，每个项目至少分配

1

名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60

种

B.120

种

C.240

种

D.480

种

7.

把函数

y=f(x)

图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位

长度，得到函数

y=sin(x-)

的图像，则

f(x)=

（）

()()()()

8.

在区间（

0

，

1

）与（

1

，

2

）中各随机取

1

个数，则两数之和大于的概率为（）

A.B.C.D.

9.

魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点

E

，

H

，

G

在水平线

AC

上，

DE

和

FG

是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为

“

表高

”

，

EG

称为

“

表距

”

，

GC

和

EH

都称为

“

表目距

”

，

GC

与

EH

的差称为

“

表目距的差

”

。则海岛的高

AB=

（）

.

A.B.

C.D.

10.

设

a≠0

，若

x=a

为函数的极大值点，则（）

A.a

＜

bB.a

＞

＜

＞

a2

11.

设

B

是椭圆

C

：（

a

＞

b

＞

0

）的上顶点，若

C

上的任意一点

P

都满足，则

C

的离

心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

12.

设，，，则（）

A.a

＜

b

＜

cB.b

＜

c

＜

aC.b

＜

a

＜

cD.c

＜

a

＜

b

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。（共

4

题；共

20

分）

13.

已知双曲线

C

：（

m>0

）的一条渐近线为

+my=0

，则

C

的焦距为

________.

14.

已知向量

=

（

1

，

3

），

b=

（

3

，

4

），若（

-λ

）

⊥

，则

λ=________

。

15.

记

△ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，面积为，

B=60°

，

a2+c2=3ac

，则

b=________.

16.

以图

①

为正视图，在图

②③④⑤

中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则

所选侧视图和俯视图的编号依次为

________

（写出符合要求的一组答案即可）

.

三、解答题：共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17-21

题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第

22

、

23

题为选考题，考生根据要求作答。（共

5

题；共

60

分）

17.

某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一

台新设备各生产了

10

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备

9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备

10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为

s

1

2和

s

2

2

（

1

）求，，

s

1

2，

s2

2；

（

2

）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

-≥

，则认为新

设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）

.

18.

如图，四棱锥

P-ABCD

的底面是矩形，

PD⊥

底面

ABCD

，

PD=DC=1

，

M

为

BC

的中点，且

PB⊥AM

，

（

1

）求

BC

；

（

2

）求二面角

A-PM-B

的正弦值。

19.

记

Sn为数列

{an}

的前

n

项和，

bn为数列

{Sn}

的前

n

项和，已知

=2.

（

1

）证明：数列

{b

n}

是等差数列；

（

2

）求

{a

n}

的通项公式

.

20.

设函数

f

（

x

）

=ln

（

a-x

），已知

x=0

是函数

y=xf

（

x

）的极值点。

（

1

）求

a

；

（

2

）设函数

g

（

x

）

=

，证明：

g

（

x

）＜

1.

21.

己知抛物线

C

：

x2=2py

（

p

＞

0

）的焦点为

F

，且

F

与圆

M

：

x2+

（

y+4

）2=1

上点的距离的最小值为

4.

（

1

）求

p

；

（

2

）若点

P

在

M

上，

PA

，

PB

是

C

的两条切线，

A

，

B

是切点，求

PAB

的最大值

.

四、［选修

4

一

4

：坐标系与参数方程］（共

1

题；共

10

分）

22.

在直角坐标系

xOy

中，

C

的圆心为

C

（

2

，

1

），半径为

1.

（

1

）写出

C

的一个参数方程；

（

2

）过点

F

（

4

，

1

）作

C

的两条切线，以坐标原点为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两

条直线的极坐标方程

.

五、

[

选修

4

一

5

：不等式选讲

]

（共

1

题；共

10

分）

23.

已知函数

f

（

x

）

=|x-a|+|x+3|.

（

1

）当

a=1

时，求不等式

f

（

x

）

≥6

的解集；

（

2

）若

f

（

x

）

≥-a

，求

a

的取值范围

.

答案解析部分

一、选择题：本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.

【解析】【解答】设所以

a=b=1

，所以

z

＝

1+i

。

故答案为：

C

【分析】先设

z

的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。

2.

【解析】【解答】当

n=2k

时，

S={s|s=4k+1,},

当

n=2k+1

时

,S={s|s=4k+3,}

所以

S,

所以

,

故答案为：

C.

【分析】分

n

的奇偶讨论集合

S

。

3.

【解析】【解答】因为命题

P

是真命题，命题

q

也是真命题，

故答案为：

A

【分析】先判断命题

p

，

q

的真假，然后判断选项的真假。

4.

【解析】【解答】因为

f(x)=

，所以函数的对称中心是

(-1,-1)

，所以函数

f(x)

向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位后关于（

0

，

0

）中心对称，而四个选项中只有

B

满足条件，

故答案为：

B

。

【分析】将函数变形为

f(x)=

后，判断。

5.

【解析】【解答】如图，连接

AC

，设

AC

与

BD

交于

O

，连接

OD1,AD1,BP,

设正方体的棱长为

x

，

因为

D1P||OB||BD,

且

D1P=BO=BD,

所以四边形

OD1PB

是平行四边形，所以

BP||OD1,

所以

即为所求的角，易证平面

BDD1B1,

故

OD1,又

,

所以＝

.

故答案为：

D

【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。

6.

【解析】【解答】由题意知，必须有

2

个人一组，其他各组只有

1

个人，所以分配方法是：，

故答案为：

C.

【分析】利用排列与组合来求解。

7.

【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将

y=y=sin(x-)

的图像上所有的点向左平移平移个单

位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的

2

倍，即函数

的周期变原来的

2

倍，就得到函数

y=

，故答案为：

B

。

【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。

8.

【解析】【解答】不妨设这两个数为

a,b

且

0

在平面直角坐标系内，

a,b

的取值，

表示为一个正方四个顶点：

(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),

且包括边界在内的正方形区域。作直线

a+b=

，

满足

a+b>

的

a,b

取值的可行域如图中阴影部分表示，

直线

a+b

＝与正方形的两个交点分别为

,

则可计算事件

(a+bR

人

svyf

概率为

P

＝

,

故选

B

。

【分析】利用几何概型解答。

9.

【解析】【解答】如图，连接

DF,

直线

DF

交

AB

于

M

，

则

AB

＝

AM+BM,

设则

因为

,

所以

所以

故答案为：

A.

【分析】通过作辅助线，

(

如图

)

，然后利用解直角形的知识来解答。

10.

【解析】【解答】当

a>0

时，若

a

为极大值点，则

(

如图

1)

，必有

a

故

B,C

项错；

当

a<0

时，若

a

为极大值点，则

(

如图

2)

，必有

a>b>a2,

故

A

错。

故答案为：

D.

【分析】对

a

的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。

11.

【解析】【解答】依题意，点

B(0,b),

设

P(x0,y0),

则有

移项并用十字相乘法得到：

因为恒成立，即恒成立，

据此解得，

故答案为：

C

。

【分析】由两点间的距离公式，表示出

|PB|2，再根据椭圆上任意点的纵坐标

y0的取值范围，解相关

不等式得到结果。

12.

【解析】【解答】构造函数

f(x)=ln(1+x)-

，则

b-c=f(0.02)

，则

当

x>0

时，

,

所以

f/(x)<0,

所以

f(x)

在单调递减，所以

f(0.02)

即

b-c<0,

所以

b

再构造函数则而

,

当

所以所以

g(x)

在（

0

，

2

）上单调递增，所以所以

b

故答案为：

B

【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

13.

【解析】【解答】因为又曲线方程

C

：

,

一条渐近线是，

所以双曲线方程是

,

故答案为：

4

【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到

m

的值，再进一步求得焦距的值。

14.

【解析】【解答】因为，所以

，

所以，

故答案为：

【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。

15.

【解析】【解答】

于是

【分析】根据面积的值，计算出

ac

，再由余弦定理求解。

16.

【解析】【解答】当俯视图为

④

时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择

③

为侧视图；

当俯视图为

⑤

时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择

②

为侧视图，

故答案为：

②⑤

或

③④

【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。

三、解答题：共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17-21

题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第

22

、

23

题为选考题，考生根据要求作答。

17.

【解析】【分析】（

1

）先计算新旧样本平均数，再直接用公式计算

s1

2，

s2

2；

(2)

由

(1)

中的数据，计算得：

-=0.3

，

2≈0.34

，显然

-

＜

2

，可得到答案。

18.

【解析】【分析】（

1

）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解；

（

2

）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角计算。

19.

【解析】【分析】（

1

）根据等差数列及前

n

项和的定义，由递推关系，求证。

（

2

）呈上，先写出

b

n,

再求

{bn}

前

n

磺的和

Sn，再由

an与Sn的关系，进一步求得结果。

20.

【解析】【分析】（

1

）先对函数

y=xf

（

x

）求导：

[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

，因为

x=0

是方程的根，代入求

得

a

值。

（

2

）首先由（

1

）写出函数

f(x),

并求其定义域，将问题转化为证明

x+f(x)

＞

xf(x)

，即证：

x+ln(1-x)-xln(1-x)

＞

0

，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。

21.

【解析】【分析】（

1

）因为

F

点到圆上距离最小的即为

F

到圆心的距离减去半径

1

，据此得到结果；

（

2

）由（

1

）写出抛物线的标准方程，分别设出切点

A,B

的坐标，及

P

（在圆

M

上）的坐标，分别写出

两条切线的方程，利用

A,B

都过

P

点，建立方程求解。最后通过三角形

PAB

面积表达式，研究最值。

四、［选修

4

一

4

：坐标系与参数方程］

22.

【解析】【分析】（

1

）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；

（

2

）设出过点（

4

，

1

）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，

并将它们化为极坐标方程。

五、

[

选修

4

一

5

：不等式选讲

]

23.

【解析】【分析】（

1)

当

a=1

，写出

f(x)=|x-1|+|x+3|

，进一步分段讨论去值，解不等式；

（

2

）只要保证

f(x)最小值

>-a

，而由绝对值的几何意义，即求

x

到

a

和

-3

距离的最小值

.