广州2a大学

华南师大附中2023届高三年级第一次月考

数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}31|{−=xxA，}42|{=xxB，则BA=()

A．B．]4,2(C．)3,2[D．]4,3(

2．已知函数)(xf的定义域为]0,3[−，则函数)12(+xf的定义域为()

A．













−−

2

1

,2B．]0,3[−C．













−0,

2

3

D．]1,2[−

3．“3a”是“函数xxaxf2)2()(2−−=在),1(+上单调递增”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟

后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃，355x）近似满足函数模

型10)3ln(

2ln

1

+−=xy．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：

585.13log

2

）()

A．14.4B．14.6C．14.8D．15.1

5．函数

3

21

)(

xxe

x

xf

x+

−

=的图像大致为()

6．已知方程05)2(2=−+−+mxmx有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则

实数m的取值范围是()

A．),4()4,5(+−−B．(-5，-4)

C．),5(+−D．),4()2,4(+−−

7．设函数)('xf是奇函数)()(Rxxf的导函数，0)1(=−f，当0x时，

0)()('−xfxxf，则使得0)(xf成立的x的取值范围是()

A．),1()1,(+−−B．)1,0()0,1(−

C．)1,0()1,(−−D．),1()0,1(+−

8．若),0(,+yx，yexxysinln+=+，则()

A．0)ln(−yxB．0)ln(−xy

第１页，共１０页

C．ye

xD．xyln

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知0nm，且1+nm，则()

A．nm22B．22n

m

C．nnm

m

−−22D．0lnln+nm

10．已知









−

=

,0,ln

,0,21

)(

xx

xx

xf，若1))((=aff，则实数a的值可以为()

A．

2

1e−

B．

2

1

C．1D．ee

11．已知函数2)(xexfx−=，则下列说法正确的是()

A．)(xf有两个不同零点

B．)(xf在R上单调递增

C．若函数2ln)(xxxfy+−=在

0

xx=处取得最小值，则)1,0(

0

x

D．),0(+x，2ln)(2+−xxxf

12．已知M是同时满足下列条件的集合：①MM1,0；②若Myx,，则Myx−；

③Mx且0=



x，则M

x



1

．下列结论中正确的有()

A．M

3

1

B．M−1

C．若Myx,，则Myx+D．若Myx,，则Mxy

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数xxexf2)(=的极小值为．

14．当1x时，函数1

1

4

2−

−

+=

x

xy的最小值为____．

15．已知)(xf为定义在R上的奇函数，且0)2()(=−+xfxf，当

10x

时，xxf2)(=，

则

)5(log

2

f

=.

16．在处理多元不等式的最值时，我们常用构造切线的方法来求解．例如：曲线2xy=在

1=x处的切线方程为12−=xy，且122−xx，若已知3=++tnm，则

3121212222=−+−+−++tnmtnm，当1===tnm时等号成立，所以

222tnm++的最小值为3．已知函数xxxxf126)(23+−=，若数列}{

n

a满足2

n

a，

且10

1021

=+++aaa，则数列)}({

n

af的前10项和的最大值为；若数列

}{

n

b满足0

n

b，且210

10021

=+++bbb，则数列)}({

n

bf的前100项和的最小值

为．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知等差数列

}{

n

a中，).(32*

2

NnnSS

nn

++=

+

(1)求

n

a；

(2)设

)2(

1

+

=

nn

naa

b，}{

n

b的前n项和为

n

T，证明：.

4

3



n

T

第２页，共１０页

18．（本小题满分12分）

在①CaAcbsincos33=−，②

ca

BA

b

CA

+

−

=

−sinsinsinsin

，这两个条件中任选一个，

补充在下面的问题中，并解答问题．

在ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，且满足____．

(1)求C；

(2)若ABC的面积为D,3在边AC上，且CACD

3

1

=，4=+BCAC，求BD的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

19．（本小题满分12分）

随着中国实施制造强国战略以来，中国制造)(ChinainMade逐渐成为世界上认知度最高的

标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件

作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为

]100,50[，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：

(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在

)60,50[和]100,90[的两组中抽取3件产品，记取自

)60,50[的产品件数为，求的分布列和数学期望；

(2)该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，

质量指标在)90,60[内的产品利润是5元，质量指标在

)90,60[之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利

润．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥ABCDP−中，BCD为等边三角形，120=DAB，

2====PBPDABAD，点E为PC的中点．

(1)求证：//BE平面PAD；

(2)已知平面⊥PBD平面ABCD，求二面角

DCPB−−的余弦值．

第３页，共１０页

21．（本小题满分12分）

已知椭圆)0(1:

2

2

2

2

=+ba

b

y

a

x

E的左、右焦点分别为

21

,FF，焦距与短轴长均为4．

(1)求E的方程；

(2)设任意过

2

F的直线l交E于NM,，分别作E在点NM,处的切线，且两条切线相交于

点P，过

1

F作平行于l的直线分别交PNPM,于BA,，求

||

||

OP

OBOA+

的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数1sin)(−−=xaexfx在区间











2

,0



内有唯一极值点

.

1

x

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：)(xf在区间),0(内有唯一零点

2

x，且.2

12

xx

第４页，共１０页

数学参考答案

一、单项选择题：

1．C2．A3．A4．C5．D6．B7．D8．C

二、多选题：

9．AB10．ACD11．BCD

12．ACD

【详解】(1)由①MM1,0，则由②M−=−110，M=−−2)1(1，

M=−−3)1(2，由③得M

3

1

，故A正确；

(2)由(1)可知M−1，故B错误；

(3)由①知M0，My，Myy−=−0，Mx，Myx−−)(，即Myx+

故C正确；

(4)Myx,，则Mx−1，由③可得M

x



1

，M

x



−1

1

，M

xx



−

−

1

11

，

即

M

xx



−)1(

1

，Mxx−)1(，即M

xx



−2，M

x



2；

由(3)可知当Myx,，Myx+，M

xxx

=+

211

，



当Myx,，可得M

yxyx

yx

++

2

,

2

)(

,,

222

22，Mxy

yxyx

=

+

−

+



22

)(222

，

故D正确．故答案为：ACD．

三、填空题：

13．

e

2

−14．124+15．

4

5

16．70；630

【详解】22)2(312123)('−=+−=xxxxf，则)(xf在),(+−上单调递增，图像如下所

示：

①易知7)1(=f，3)1('=f，所以曲线)(xfy=在1=x处的切线方程为43+=xy，结合

图像易知)2(43)(+xxxf，所以43)(+

nn

aaf，

所以7040)(3)()()(

10211021

=+++++++aaaafafaf，

当且仅当1

1021

====aaa时，等号成立；

②曲线)(xfy=在

0

xx=处的切线为

0

2

0

3

000

2

0

126))(12123(xxxxxxxy+−+−+−=，

因为0

n

b，则令此切线过原点，解得3

0

=x或0

0

=x，

所以曲线)(xfy=在3=x处的切线方程为xy3=，

结合图像易知)0(3)(xxxf，

所以630)(3)()()(

1002110021

=++++++bbbbfbfbf，

当且仅当0=

n

b或3=

n

b时，等号成立，

取3

7021

====bbb，0

1007271

====bbb，即}{

n

b的前100项中有70项为3，30

项为0时，等号成立．故答案为：70；630.

四、解答题：

第５页，共１０页

17．【解析】(1)设等差数列}{

n

a的公差为d，)(32*

2

NnnSS

nn

++=

+

，

所以32

212

+=+=−

+++

naaSS

nnnn

，可得52

32

+=+

++

naa

nn

，两式相减可得：22=d，

所以1=d，所以3221

21

+=+++=+

++

naaaa

nnnn

，可得：na

n

=；

由(1)知：na

n

=，所以











+

−=

+

=

2

11

2

1

)2(

1

nnnn

b

n

，

nn

bbbT+++=

21

)2(

1

)1)(1(

1

53

1

42

1

31

1

+

+

+−

++



+



+



=

nnnn















+

−+

+

−

−

++−+−+−=

2

11

1

1

1

1

5

1

3

1

4

1

2

1

3

1

1

2

1

nnnn















+

−

+

−+=

2

1

1

1

2

1

1

2

1

nn













+

−

+

−=

2

1

1

1

2

3

2

1

nn

*N

n



，

0

2

1

,0

1

1



+



+



nn

4

3

2

3

2

1

=

n

T，原命题得证．

18．【解析】(1)方案一：选条件①.

由CaAcbsincos33=−，可得CaAcbsin

3

3

cos=−，

由正弦定理得CAACBsinsin

3

3

cossinsin=−，

因为)(CAB+−=，所以)sin(sinCAB+=，

所以CAACCACAsinsin

3

3

cossinsincoscossin=−+，

故CACAsinsin

3

3

cossin=，

又0sin=



A，于是CCcos3sin=，即3tan=C，

因为),0(C，所以.

3



=C

方案二：选条件②．

ca

BA

b

CA

+

−

=

−sinsinsinsin

，由正弦定理得

ca

ba

b

ca

+

−

=

−

，

即222babca−=−，abcba=−+222，



由余弦定理得

.

2

1

2

cos

222

=

−+

=

ab

cba

C

又),0(C，所以.

3



=C

(2)由题意知3

2

3

2

1

sin

2

1

===



abCabS

ABC

，得4=ab．①

4=+BCAC，即4=+ba②

第６页，共１０页

联立①②解得2==ba

而

3

2

3

1

==CACD，

由余弦定理得

9

28

3

cos

3

2

22

3

2

2cos2

2

2222=−













+=−+=



CCDaCDaBD

0BD，故.

3

72

=BD

即BD的值为.

3

72

19．【解析】(1)解：样本中质量指标在)60,50[的产品有40×10×0.015=6件，质量指标在

]100,90[的有40×10×0.01=4件，可能的取值为0，1，2，3，

相应的概率为：

30

1

120

4

)0(

3

10

3

4====

C

C

P，

10

3

120

36

)1(

3

10

1

6

2

4====

C

CC

P，

2

1

120

60

)2(

3

10

2

6

1

4====

C

CC

P，

6

1

120

20

)4(

3

10

3

6====

C

C

P，

随机变量的分布列为



0123

P

30

1

10

3

2

1

6

1

所以期望.

5

9

6

1

3

2

1

2

10

3

1

30

1

0)(=+++=E

(2)解：设质量指标在)90,60[内有

X

件，每箱产品的利润为Y元，则质量指标在)90,60[外

的有)200(X−件，由题意知6002)200(35+=−+=XXXY，

因为











4

3

,200~BX，所以150

4

3

200)(==XE，

所以.900600)(2)6002()(=+=+=XEXEYE

20．【详解】(1)取CD的中点M，连接,,BMEM

E为PC中点，

PDEM//，而



EM平面PAD，PD平面PAD，

//EM平面PAD，

又BCD为等边三角形，

CDBM⊥

=120DAB，ABAD=，

==30ABDADB，=+=+=903060ADBCDBADC，

CDAD⊥，

ADBM,平面ABCD，

ADBM//，而



BM平面PAD，AD平面PAD，

//BM平面PAD，又MBMEM=，

//EMB平面平面PAD，而EB平面EMB，

//EB平面.PAD

(2)根据条件，连接AC交BD于O，连接PO，由对称性知，O为BD中点，且BDAC⊥，

第７页，共１０页

BDPO⊥

平面⊥PBD平面ABCD，且交于BD，

⊥PO平面ABCD，

在AOD中，ODAO⊥，2=AD，30=ADO，

则1=AO，3=OD，又2=PD，

1)3(222=−=PO，

在正BCD中，322==ODBD，3=CO.

以O为坐标原点，OPOBOC,,所在方向分别为zyx,,轴的正方向建立空间直角坐标系

xyzO−，则)0,3,0(−D，)0,0,3(C，)1,0,0(P，)0,3,0(B，

)1,3,0(=DP，)1,0,3(−=PC，)1,3,0(−=PB，

设平面PCD的法向量为),,(

1

zyxn=，平面PCB的法向量为),,(

2

cban=，

所以











=−=

=+=

03

03

1

1

zxPCn

zyDPn

，令1=x，则)3,3,1(

1

−=n，











=−=

=−=

03

03

2

2

caPCn

cbPBn

，令1=a，则)3,3,1(

2

=n，

13

7

,cos

21

21

21

=



=

nn

nn

nn，

由图可知，二面角DCPB−−为钝角，所以二面角DCPB−−的余弦值为.

13

7

−

21．【解析】(1)由题意，4222=−ba，42=b，解得42=b，82=a，故椭圆为.1

48

22

=+

yx

(2)由题意，)0,2(

2

F，显然l的斜率不为0，故设l的方程为2+=tyx，

),(),,(

2211

yxNyxM，则











+=

=+

2

1

48

22

tyx

yx

，即044)2(22=−++tyyt，故

2

4

2

21+

−=+

t

t

yy，

.

2

4

2

21+

−=

t

yy由题意可知NM,不在x轴上，即过NM,两点的切线斜率存在，设过M

点的切线方程为

)(

11

xxkyy−=−，与椭圆联立有,

)(

1

48

11

22











−=−

=+

xxkyy

yx

整理得：08)(2)(4)12(2

1111

22=−−+−−+ykxxykxkxk，

故0]8)(2)[12(4)(162

11

22

11

2=−−+−−=ykxkykxk,

可得

1

1

2y

x

k−=，即过M点的切线方程为

)(

21

1

1

1

xx

y

x

yy−−=−，即

82

11

=+yyxx

，

同理可得过N点的切线方程为

82

22

=+yyxx

,

第８页，共１０页

联立两切线方程







=+

=+

82

82

2

2

11

yyxx

yyxx

，

即,

82

82

1211

2

22121







=+

=+

yyyyxyx

yyyyxyx

相减可得)(8)(

12

1221

yyxyxyx−=−，

即)(8])2()2[(

121221

yyxytyyty−=+−+，化简可得

.4=x

代入1

48

11=+

yyxx

可得t

y

ty

y

x

y2

)2(2424

1

1

1

1−=

+−

=

−

=，故).2,4(tP−

设MN的中点为),(

QQ

yxQ，则

2

2

22

21

+

−=

+

=

t

tyy

y

Q

，

2

4

2

2

2

2

2

2

+

=+

+

−=

t

t

t

x

Q

，

故.

2

2

,

2

4

2

2













+

−

+t

t

t

Q

因为

2

2

4

2

2

2

2t

t

t

t

k

OQ

−=

+

+

−

=，

24

2tt

k

OP

−=

−

=，故

OP

OQ

kk=，

所以PQO,,三点共线．又过

1

F平行于l的直线分别交PNPM,于,,BA

易得PMN～PAB，取AB中点R，根据三角形的性质有PQOR,,,四点共线，

结合椭圆的对称性有1

2

2

2

2

||

2

2



+

====

+

t

x

x

OP

OQ

OP

OR

OP

OBOA

P

Q，

当且仅当0=t时取等号．故

||

||

OP

OBOA+

的取值范围是].1,0(

22．【解析】(1)xaexfxcos)('−=，当













2

,0



x时，)1,0(cosx，21



eex，

①当1a时，0)('xf，)(xf在











2

,0



上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；

②当1a时，显然)('xf在











2

,0



上递增，又因为01)0('−=af，0

2

'2=













ef，

所以)('xf在











2

,0



上有唯一零点

1

x

，所以

),0(

1

xx

，0)('xf；













2

,

1



xx，

0)('xf，所以)(xf在











2

,0



上有唯一极值点，符合题意．综上，a的取值范围是).,1(+

(2)由(1)知1a，所以















,

2

x时，0cos)('−=xaexfx，

所以

),0(

1

xx

，0)('xf，)(xf单调递减；

),(

1

xx

，0)('xf，)(xf单调递增，

所以

),0(

1

xx

时，0)0()(=fxf，则

0)(

1

xf

，

又因为01)(−=ef，所以)(xf在

),(

1

x

上有唯一零点

2

x，即)(xf在),0(上有唯

一零点

2

x

.

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因为1cossin212sin)2(

11

2

1

2

1

11−−=−−=xxaexaexfxx，由(1)知0)('

1

=xf，

所以

1

cos1xaex=，

则1sin2)2(

1

2

1

11−−=xeexfxx，构造1sin2)(2−−=teetptt，













2

,0



t，

所以)cossin(2)cos(sin22)('2tteetteetptttt−−=+−=，

记











−−=

2

,0,cossin)(



tttett，则ttettsincos)('+−=，

显然)('t在











2

,0



上单调递增，所以0)0(')('=t，

所以)(t在











2

,0



上单调递增，所以0)0()(=t，

所以0)('tp，所以)(tp在











2

,0



上单调递增，

所以0)0()(=ptp，

所以

)(0)2(

2

1

xfxf=，

由前面讨论可知：

11

2xx，

21

xx，

且)(xf在

),(

1

xx单调递增，所以.2

21

xx

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