三垂线

三垂线定理

周口市第三高级中学王杰

教学目标

三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此

能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。

教学重难点

三垂线定理及其逆定理的理解和应用

教学方法

启发式教学法

依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的

思路。

教学过程

引例：

如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。

证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，

∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，∴BC⊥AB

∴BC⊥平面PAB，PB在平面PAB内

∴BC⊥PB

思考：

（1）证明线线垂直的方法有哪些？

（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。

线线垂直的方法：

（1）a⊥,b在内，则a⊥b

（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m

（3）三垂线定理及其逆定理

三垂线定理包含几种垂直关系？

○1线面关系○2线射垂直○3线斜垂直

P

a

O

A

P

a

O

A

定理

P

a

O

A

直线和平面垂直平面内的直线和平面平面内的直线和平

的一条斜线射影垂直面的一条斜线垂直

逆定理

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，

它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那

么，它也和这条斜线的射影垂直。

A

C

P

B

例1：如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，试

证∆PBC、∆PQR为直角三角形。

证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°∴AC⊥BC

∵AC是斜线PC在平面ABC的射影∴BC⊥PC（三垂线定理）

∴∆PBC是直角三角形；∴BC⊥平面PAC

∵AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，

∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影

又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），

∴∆PQR是直角三角形。

小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，

而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。

例2.在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC

证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO

则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。

∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD

于是O是△BCD的垂心，

∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.

小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影.

例3.如图，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，，BC=EC=2DB，

求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角。

解：延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱

由已知DB、EC都垂直正三角ABC，∴DB//EC

又BC=EC=2DB∴FB=BC=AB，∴∆FAC为直角三角形，且FA⊥AC

而EC⊥平面ABC∴AF⊥AE（三垂线定理）

于是∠EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，

又EC=AC，∴∠EAC=45°∴二面角的平面角为45°。

思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？

（用

cosABC

ADE

s

S







）

小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在

二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面

角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。

此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的

方法来求二面角,例如法向量法等.

例4：直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC的中点，AC=2，

DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？

解：过点D作DF⊥AC于F，连结EF，

∵DE⊥平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC

即E到斜线AC的距离为EF

在Rt∆ABC中，∠B=90°，∠C=30°，C=2

R

A

C

B

P

Q

B

D

C

O

A

A

C

B

E

D

F

B

A

C

E

D

F

∴BC=

3,

3

2

CD∵DF⊥AC，∴

3

4

CD

在Rt∆EDF中22

19

4

EFDFDE为所求

小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把垂线段作出，按“一作、

二证、三计算”的步骤求解。

方法规律三垂线定理及其逆定理的应用：

（1）证明两条异面直线垂直；

（2）确定二面角的平面角；

（3）确定点到直线的垂线段。

运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。

能力拓展：

过Rt∆BPC的直角顶点P作线段PA⊥平面BPC，求证：∆ABC的垂心H是P点在

平面ABC内的射影。

证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交BC于D

连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC，BE⊥AC

∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，AD∩PD=D

∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH

又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC，∴PB⊥面APC

又BE⊥AC，∴PE⊥AC，∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC

∵AC∩BC=C，∴PH⊥面ABC

∴H是P点在平面ABC的射影。

练习：

1.(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD

(2)PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM

(3)在正方体

1

AC中，求证：

1

AC⊥

11

BD，

1

AC⊥

1

BC

2.证明：果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这

个角的平分线上。

作业：

1.在正方体

1

AC中，E、G分别是

1

AA和

1

CC的中点，F在AB上，且

1

CE⊥EF，

则EF与GD所成的角的大小为（）

(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°

2.已知PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心。

3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么

斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。

4.在ABCD—

1111

ABCD中，求证：

1

AC⊥平面

1

BCD

H

P

C

B

A

E

D