正弦定理公式

【正弦定理公式】；

【余弦定理公式】；；

?如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，

那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思

想进行处理，解题时根据已知量与所求量，合理选择一个比较容

易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手

容易，解题简洁。

一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理

（1）三角公式

①在中，已知两角的三角函数值，求第三个角；存

在。

证明：有解有解

即，要判断是否有解，只需

。

（2）正弦定理

①在中，已知两角和任意一边，解三角形；

②在中，已知两边和其中一边对角，解三角形；

（3）余弦定理

①在中，已知三边，解三角形；

②在中，已知两边和他们的夹角，解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常

讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材

中找一些题目看一看！

二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理

（1）齐次式条件（边或角的正弦）

若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以

根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中

没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。

1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】在中，若，，

求。

【解析】无论是条件中的，还是

都是关于一个角的齐次式。是

关于的一次齐次式；是关于的二次齐次

式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。

由；

由

或；

在中，，且。代

值可得：

①当，时，；

②当，时，（舍去）。

2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化

【例】在中，若，且，

求的面积。【解析】条件是关于

不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边，

然后根据边的关系利用余弦定理求解。

由；

显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得

。

又因为，所以。

3.不同边齐次式条件的边角互化

【例】的内角的对边分别为。已知，

，求。

【解析】条件是关于不同边的一次齐次式。因此，

我们利用正弦定理将边化为角，然后由将

不同角转化为同角,利用化一公式求解。

由，又，，可

得：

，运用化一

公式得。

4.边角混合齐次式条件的边角互化

①边角混合——边为齐次式

【例】的内角的对边分别为，且

，求。

【解析】条件是边角混合——关于不同边的

一次齐次式，由于所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化

为切求解。

由，又

，

则

。

②边角混合——角（正弦）为齐次式

【例】的内角的对边分别为，且，

，求。

【解析】条件是边角混合——角（正弦）

为不同角的一次齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根

据等式形式利用余弦定理求解。

由，由于，我们可

以得到：

，显然这个形式符合余弦

定理公式，因此，可得。从而得出。

③边角混合——边、角（正弦）都为齐次式

【例】的内角的对边分别为，且

，求。

【解析】条件是边角混合——边、角

（正弦）各为一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是

一般将角转化为边求解。

由，

显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得

。

从而得出。

5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式

【例】的内角的对边分别为，且

，求证：的三边成等比数列。

【解析】条件显然不是齐次式，并且

角也不全是三角形的内角。因此，首先得把这些角转变为三角形

的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求解。

由

，只要

将变换为，题中的条件就变成了关于不同内角正弦

的二次齐次式：

。

（2）不同边的平方关系（余弦定理）

若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可

以选用余弦定理边角互化，在上面的一些情况中，有利用正弦定

理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。

【例】的内角的对边分别为，且

，求。

【解析】条件含有不同边的平方关系，形式

显然符合余弦定理公式。

由。

（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互

化）

若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内

角正弦、余弦，可以同时使用正弦、余弦定理边角互化，要么都

化为角（正弦、余弦），要么都化为边。

【例】在中，已知，且，求。

【解析】由题目中条件可得

，

接下来再利用余弦定理可得

，又，

，所以或

。

因为。

解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉

不易下手，以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征，利用三

角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，但这仅仅是初

探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。