by2 有没有

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高二数学圆的一般方程人教版

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的

代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2

＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、

(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、

教学重点和难点

重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的

互化，根据已知条件确定方程中的系数，

D、E、F、

难点：圆系的理解和应用、

教学过程设计

(一)教师讲授：

请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心

(a，b)，半径r、

把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2

－r2=0、

我们把它看成下面的形式：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0①

这个方程是圆的方程、

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反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示

的曲线是圆、

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示

(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示

(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形

∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、

做圆的一般方程、

现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0、

②没有xy这样的二次项、

同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy

这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条

件、但不是充分条件、

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数

D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、

(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的

圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、

[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、

把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的

方程组

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∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0、

[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：

y－1=(－2)(x－2)

2x＋y=5

∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=

25、

[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出、

解设曲线上的动点为M(x，y)、

化简得x2＋y2＋2x－3=0

配方(x＋1)2＋y2=

4、

∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆、

研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点

分别为P

1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r

2、

[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为

P

1、P2如具体去求P

1、P2的坐标，则运动量是非常大的、为此我们要研究较简单

的办法、

P0P

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1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90，则O、P

1、P0、P2四点共圆，P

1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手、

即x2＋y2－x0x－y0y=0、

把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r

2、

∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r

2、

这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出

的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线、

请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问

题时，研究过这样一个定理、(课本复习题七，24题)“两条曲线

的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，

y0)、求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这

里λ是任意实数”、

根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0、

表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得

曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r

2、就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点、

通过这个题，我们有下面一般的结论：

如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋

D2x＋E2y＋F2=0相交、

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(1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋

y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆、

(2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0

表示过圆C1和C2交点的直线、

这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后

在解题中将会得到应用、应当注意的是：

方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋

F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一

个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系、这个圆系就是经过两

圆交点的所有圆的集合、

(三)学生课堂练习

1、课本练习题1

(1)点(0，0)、

2、课本练习题

2、

(1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为

|b|、

3、课本练习题

3、

(四)作业

习题

7、75，6，7，8二

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教学目标

1、讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化

为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径、

2、通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑

思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问

题的能力、

教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条

件选用圆的方程为教学难点、

教学过程

一、复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程、

生：(x－a)2+(y－b)2=r

2、

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般

式、

师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？

生A：是的、

生B：缺少条件A2+B3≠0、

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那

样的“一般方程”呢？

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(书写课题：“圆的一般方程”的探求)

二、新课

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求

一下、大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手、如探

求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点

式……)展开整理而得到的、想求圆的一般方程，怎么办？

生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0、令D=－2a，E=－2b，

F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0、(*)

师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)

的形式、那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？

生A：不一定、还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形

式、

生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件、

师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？

生：配方、

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板

书、)

1、当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)

式表示以

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3、当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任

何图形、

教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆

的一般方程、

师：圆的一般方程有什么特点？

生A：是关于x、y的二元二次方程、

师：刚才生A的说法对吗？

生B：不全对、它是关于x、y的特殊的二元二次方程、

师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)

师：

1、x2，y2系数相同，且不等于零、

2、没有xy这样的二次项、

(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”

的什么条件？

生：必要条件、

师：还缺什么？

生：D2+E2－4F＞0、

练习：判断以下方程是否是圆的方程：

①x2+y2－2x+4y－4=0

②2x2+2y2－12x+4y=0

③x2+2y2－6x+4y－1=0

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④x2+y2－12x+6y+50=0

⑤x2+y2－3xy+2y+5y=0

⑥x2+y2－12x+6y+F=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显能看出圆心、半径；一般方程

的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程、

师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径、

生B：不用死记，配方即可、

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分

析、选择、

例1求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，

并求圆心和半径、

分析标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显

然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较

为简单、

解法：设出一般方程，用待定系数法、

例2一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标

是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程、

解法一设出一般方程，用待定系数法、(由三角形性质知：

顶点为(0，5))

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解法二

设出标准式x2+(y－b)2=r

2、(由三角形性质知：顶点为(0，5)，且圆心在y轴上)、

四、小结

注意一般式的特点：1x2，y2系数相等且不为零；2没有xy

这样的项；

3D2+E2－4F＞0、

另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式、如

D、E确定了，则与F的变化有关、

五、作业：

1、求下列各圆的一般方程：

①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；

②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)、

2、求下列各圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2－2x－5=0

②x2+y2+2x－4y－4=0

③x2+y2+2ax＝0

④x2+y2－2by－2b2＝0

3、求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和x2+y2+12x+6y－19=0

相外切、

设计思想

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这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知

识的形成过程、因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并

重；知识、能力、思想方法并重”、

在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用

讨论式，引导学生探索，重视探索过程、一方面，把直线一般方

程探求过程进行回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方

面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了

“通过特殊认识一般”的科学思想方法、

同时，通过类比进行条件的探求“D2+E2－4F”与“Δ”(判

别式)类比、

在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成

过程”，并用它探求新知识、这样的过程，既是学生获得新知识

的过程，更是培养学生能力的过程、三

一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特

点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和

半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(二)能力训

练点使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系

数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件

导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的

能力、(三)学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数

学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础、

二、教材分析

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1、重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和

半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程、(解决办

法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆

心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练、)

2、难点：圆的一般方程的特点、(解决办法：引导学生分析

得出圆的一般方程的特点，并加以记忆、)

3、疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0、(解决

办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件、)

三、活动设计讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再

演板、

四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已讨论了圆的标

准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-

r2=0、可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0、请

大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？

下面我们来深入研究这一方面的问题、复习引出课题为“圆的一

般方程”、(二)圆的一般方程的定义

1、分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)

与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0

时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图

形、这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别

是圆、法、2、圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程

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x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程、(三)圆的一般方程的特点请

同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0、(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，

(D2+E2-4F＞0)、(3)的系数可得出什么结论？启发学生归纳结

论、当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2

和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即

B=0；(3)D2+E2-4AF＞0、它才表示圆、条件(3)通过将方程同除以

A或C配方不难得出、教师还要强调指出：(1)条件(1)、(2)是二

元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件

(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件、(四)

应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数

D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆、下

面看一看它们的应用、例1求下列圆的半径和圆心坐标：

(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0、此例由学生演板，教师纠

错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为

(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b、同时强调：由圆的一般方

程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握、例2求

过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程、解：设所求圆的

方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、

A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程

为x2+y2-8x+6=0、例2小结：

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1、用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆

的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或

D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或

D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程、2、关于何

时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已

知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方

程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半

径都无直接关系，往往设圆的一般方程、再看下例：例3求圆

心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和

C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程、(0，2)、设所求圆的方

程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l

上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=

10、这时，教师指出：(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径

或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方

程、(2)此题也可以用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+

y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：由

圆心在直线l上得λ=-

2、将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为

x2+y2+6x-6y+8=0、此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学

生留下悬念、的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线、此例请

两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形

未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，

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由求曲线方程的一般步骤可求得；(2)应将圆的一般方程配方成标

准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形、(五)小结

1、圆的一般方程的定义及特点；

2、用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

3、用待定系数法，导出圆的方程、

五、布置作业

1、求下列各圆的一般方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点

C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)、2、求经过

两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-

y-4=0上的圆的方程、3、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一

个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是

什么、4、

A、

B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使

∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹、作业答案：

1、(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02、x2+y2-

x+7y-32=03、所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，

x≠5)，轨迹是以

4、以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，

0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：(a2-

c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0、当a=c时，则得x=0(y≠0)，即

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y轴去掉原点；当a≠c时，则得(x-与x轴的两个交点、六、板书

设计四教学目标

(1)了解曲线的参数方程的含义，参数方程和普通方程的区

别、

(2)掌握圆的参数方程，能根据参数方程确定圆的圆心和半

径，在解题中灵活运用、会把圆的参数方程与普通方程进行互

化、

(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方

法、

教学重点和难点

重点：圆的参数方程，圆的参数方程与普通方程的互化、利

用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、

难点：参数方程的理解、点与圆、直线与圆、圆与圆位置的

判断、

教学过程设计

(一)学生阅读课本、(P97

3、圆的参数方程到P98例6前)、

(二)导入新课，设圆O的圆心在原点，半径是r、

根据三角函数的定义：

P点的横坐标x，纵坐标y都是Q的函数、

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我们把这个方程叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方

程、如果圆的圆心为O1(a，b)，半径为r，我们可以看成是由圆

心在原点O，半径为r的圆按向量V=(a，b)平移而得到、

即(x，y)=(rcosθ，rsinθ)＋(a，b)=(a＋rcosθ，b＋

rsinθ)

这个方程表示圆心在(a，b)点，半径为r的圆、

消去参数就得到圆的标准方程、

(x－a)2＋(y－b)2=r

2、

相对于参数方程来说，我们前面学过的方程叫曲线的普通方

程、

例1如图，已知点P是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A是

X轴上的定点，坐标为(12，0)，当点P在圆上运动时，线段PA的

中点M的轨迹是什么？

[分析]这个问题符合我们前面学过的用“转化法”求轨迹的

特征，我们先用“转化法”作一下、然后再考虑其它方法、

[解法一]设动点M的坐标为(x，y)，P点的坐标为(x′，

y′)、

则(2x－12)2＋(2y)2=

16、(x－6)2＋y2=

4、

∴M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、

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[解法二]P点在圆x2＋y2=16上，P点的坐标为(4cosθ，

4sinθ)

设动点M(x，y)则

由此可知，M点的轨迹是圆心为(6，0)点，半径是2的圆、

显然用参数方程表示出P的坐标，直接把圆的条件用进去，

使解法简化、

例2经过圆x2＋y2=4上任一点P作X轴的垂线，垂足为Q，

求线段PQ中点轨迹的普通方程、

于是Q点的坐标为(2cosθ，0)、

(三)新课堂练习、

2、课本练习题

2、(1)(x－1)2＋(y＋3)2=4，(2)(x－2)2＋(y－2)2=

1、

(四)教师讲授、

我们已经研究了圆的三种形式的方程，现在我们来研究圆与

点，圆与直线，圆与圆的位置关系、

M3(1，0)与圆C的位置关系、

把圆C的参数方程化为普通方程，(x－1)2＋(y－2)2=

4、

即x2＋y2－2x－4y＋1=0、

∴M1在圆C的外部、

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把M2(2，1)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=－2

＜0、

∴M2在圆C的内部、

把M3(1，0)代入圆的一般式的左边，x2＋y2－2x－4y＋1=0、

∴M3在圆上、

小结：由上面我们得出判断一个点在圆内、圆外、圆上的基

本方法；即把这点M(x0，y0)代入圆的一般式f(x，y)=0的左边，

f(x0，y0)＞0点M(x0，y0)在圆外；f(x0，y0)=0点M(x0，y0)在

圆上；f(x0，y0)＜点M(x0，y0)在圆内、

同学们想想，这是为什么？经过研究大家发现，

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，(x0－a)2＋(y0－b)2－r2＞0，

∴f(x0，y0)＞0、

类似地可推出M点在圆上，圆内的情况、

问题

2、K为怎样的值时，圆(x－1)2＋y2=1与直线y=Kx＋2

(1)相切，(2)相交，(3)相离

圆(x－1)2＋y2=1的圆心为(1，0)，半径为r=

1、

有些同学通过交点的个数去判断、

Δ=(4K－2)2－16(1＋K2)=(－4)(4K＋3)

小结：通过以上研究，给我们提供了判断圆与直线位置关系

的两条途径、

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1、从距离考虑：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，

d=r，圆与直线相切；d＜r，圆与直线相交；d＞r圆与直线相离、

2、从交点考虑：设圆与直线组成方程组，得出一个一元二次

方程，其判别式为Δ、

Δ=0，圆与直线相切；Δ＞0圆与直线相交；Δ＜0圆与直线

相离、

这两种办法中，方法1更为普遍、而方法2有时计算量过

大，应用起来不方便、

问题

3、a为何值时，圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0与圆x2＋

y2=4(1)外切，(2)内切，(3)相交，(4)外离，(5)内含、

根据平面几何中两圆位置关系的研究，我们应从两圆连心线

的距离与两圆半径间的关系去判断两圆的位置关系、

圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－9=0的圆心(－a，2a)，半径R=

3、

圆x2＋y2=4的圆心(0，0)，半径r=

2、

小结：通过上例我们可知，两圆的位置关系，可以由两圆连

心线的长度d，与两圆半径R与r(R＞r)的数量关系去判断、

(五)作业、习题

7、7

9、

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10、

11、圆的方程及应用教学目标

1、使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的

具体条件，准确写出圆的标准方程，并能由所给圆的方程正确地

求出圆心和半径，通过圆的标准方程的推导，培养学生分析问题

和解决问题的能力、2、掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般

方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径、3、理解

掌握圆与直线及其它圆锥曲线图形与方程之间的关系，能根据图

形特点，写出曲线方程之间的关系；能根据代数方程，画出曲线

与曲线之间的各种图形，有利于问题的简化，达到解题的目的、

4、努力学会充分利用平面几何中有关圆的性质和定理解题，要充

分利用数形结合的思想和方程的思想，由图形来探索解题的方

法、重点难点

1、圆的标准方程和一般方程的特点，根据具体题目条件，选

用圆的一般方程解决问题、2、直线和圆的各种位置关系，重点掌

握直线与圆相切的有关问题、3、难点是如何适当的利用平面几何

中圆的有关性质和定理解题、虽然解析几何中讨论圆的问题主要

是利用代数方程，但灵活应用平面几何中的有关定理在有些时候

对解题会有很大的帮助，这一点在复习圆及有关问题时应予以足

够的重视、教学过程圆是大家很熟悉的特殊的二次曲线，用坐标

法，从圆的特征性质导出圆的方程，再通过圆的方程来研究与圆

有关的问题、由于圆的特殊性和其广泛的应用，所以在复习圆的

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过程中应着重掌握好以下几个方面的问题、1、圆的方程的各种情

况及其应用；

2、圆的切线方程；

3、有关圆的轨迹问题；

4、直线与圆结合的应用问题、例题部分例1求圆心在直线

4x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点P(3，-2)的圆的方程、分析

由于已知条件涉及到圆的圆心和半径，所以设所求圆的方程为：

(x-a)2+(y-b)2=R2，根据题意，则有以下方程组成立评述这

是一道典型的例题，它充分体现了点在曲线上，点的坐标满足曲

线方程的主导思想；圆的半径由点到切线的距离来描述，圆心由

它所适合的方程组来决定，本题实际上给出了确定圆的方程的基

本方法、前面已经提到了复习圆这一节时要充分利用圆的有关平

面几何的性质和定理，如能考虑到这一点，本题的解法则可能会

更简单：如图1，设所求圆的圆心为C，则PC垂直于直线x+y-

1=0，例2已知经过点A(0，1)和点B(4，a)，且与x轴相切的

圆只有一个，求此时a的值及相应的圆的方程、分析因为该圆

与x轴相切，故圆心纵坐标的绝对值即为该圆的半径，所以用圆

的标准方程解本题、解因为所求圆与x轴相切、所以可设所求

圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=y02、因为A(0，1)，B(4，a)在圆

上，所以消去y0，得(x0-4)2+a2=a(x02+1)即

(1-a)x02-8x0+(a2-a+16)=0、

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③(2)当a≠1时，若适合题意的圆只有一个，方程③必须有

二等根，即有Δ=b2-4ac=0、得64+4(a-1)(a2-a+16)=0，整理该

方程有a[(a-1)2+16]=0，评述本题的特点是由数形结合的思

想出发，画出草图，做出定量分析，在此基础上建立与题意相适

应的代数方程，并通过解方程组使问题得到解决、例3已知抛

物线y2=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高

线都通过焦点F，求此三角形的外接圆方程、分析先求三角形

另两个顶点A，B的坐标，再求过O，A，B三点的圆的方程、解

如图(2)所示，设△OAB为抛物线y2=2px的内接三角形，AD，因

为OA⊥BE，所以KOAKBE=-1，即例4求过点P(2，4)向圆(x-

1)2+(y+3)2=1所引的切线方程、解因为(2-1)2+(4+3)2=50＞

1，所以点P(2，4)在圆(x-1)2+(y+3)2=1的外部、4=k(x-2)、①

把①代入圆的方程得(x-1)2+[k(x-2)+4+3]2=1，即(1+k2)x2-

(4k2-14k+2)x+4k2-28k+49=0，其判别式Δ=56k-1

92、的一条切线的方程、因为圆心(1，-3)到该直线的距离

d=1，所以x=2是所求的另一条切线方程、综合(1)、(2)，所求的

两条切线方程是x=2和24x-7y-20=0、评述在解决这类问题的

时候，一定要注意两点，第一是先判断点P(2，4)与圆的位置关

系，点P(2，4)必须在圆上或圆外才有解，第二要考虑斜率k不存

在的情况，以免漏解、这样考虑问题较细致，但计算量相应较

大，如能利用平面几何中圆的切线定义，根据圆心到切线的距离

等于圆的半径这一点，则计算量相应减少，解法简化、由圆心为

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(1，-3)，半径R=1，将切线方程改写成直线的一般形式在的特殊

情况x=2，这样就可得两条切线方程、例5求经过点A(4，-

1)，且与已知圆C：(x+1)2+(y-3)2=5相外切于点B(1，2)的圆的

方程、解如图3，设所求的圆C′的方程为(x-a)2+(y-b)2=R

2、因为C′既在弦AB的垂直平分线上，又在直线BC上，AB

中垂线方程为3x-y-6=0，BC所在直线的方程为x+2y-5=0，所以圆

心C′的坐标应满足方程组解得a=3，b=

1、因为所求圆C′过点A(4，-1)，所以(4-3)2+(-1-1)2=R2=

5、所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=

5、评述确定一个圆的方程主要是两个数据：圆心和半

径、本题解决的关键是要确定圆心C′的位置，C′一确定，半径

即为|C′A|、由已知条件得出C′满足的条件有两个，一是C′在

线段AB的垂直平分线上；二是圆C和C′相外切，C′一定在直线

CB上，由此建立(a，b)所满足的方程组，问题即可得解、例6

已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，相切的直线l交x轴、y轴分别

于A，B点，设O为原点，|OA|=a，|OB|=b(a＞2，b＞2)、(1)求

证圆C与直线l相切的充要条件是(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB

中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值、解(1)因为l与

圆心相切，且a＞2，b＞2，所以可设直线l的方评述讲解本

题的目的，是为了锻炼学生解决综合题的能力，其中第(1)小题被

反复应用多次，特别是(3)建立在(1)的基础上的恒等变形技巧值

得借鉴、例7AB为定圆的直径，C为该圆上异于A，B的任一

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点，l为过C点的圆的切线，过B引BP⊥l，且交AC的延长线于

P，求点P的轨迹、解法一如图4所示，以圆心O为原点，AB

所在的直线为x轴，建立坐标系，则定圆方程为x2+y2=r

2、(因为C是动点，点P因点C动而动，故可)设P点坐标为

(x，y)，C点坐标为(x1，y1)、(P点是直线AC，BP的交点，所以

P点受直线AP和BP的制约，因此建立直线AP与BP的方程，来确

定P点与C点坐标之间的关系式、)因为C点不与点A，B重合，

所以y1≠0，由过C点的切线l的方程为x1x+y1y=r2，直线

BP⊥l，所以y1x-x1y-y1r=0①，点P在直线AC=r2，即(x-

r)2+y2=4r2(y≠0)即为所求P点的轨迹方程，其轨迹要除去x轴

上的两个点、评述本题特点是动点P随着相关点C的运动而运

动，如果能用动点P的坐标(x，y)，表示相关点C的坐标(x1，

y1)，则按照相关点C所满足的条件列出方程，就能得动点P的轨

迹方程、这种方法通常称为相关点法，在解析几何中经常用到，

应给予足够的重视、解法二因为BP⊥l，OC⊥l，所以

OC∥BP、因此|BP|=2|OC|=2r、这说明当点C运动时，动点P距定

点B的距离总等于常数2r、根据定义可得到：P点轨迹是以点

B(r，0)为圆心，以2r为半径的圆、因为C点不与A，B点重合，

所以y≠0，所以点P的轨迹方程为(x-r)2+y2=4r2(y≠0)、例8

从直线x=-2上一动点P向圆x2+y2=1引两条切线，求以两切点为

端点的弦AB的中点M的轨迹方程、分析如图5，本题解决的思

路是如何建立起切点弦AB所在直线的方程、如图所示，OP⊥AB，

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由kOPkAB=-1，即可得出PO，AB交点M的轨迹方程、解在直线

x=-2上任取一点P(-2，y′)，过P引圆的两条切线PA，PB，A，B

为两切点、设A，B点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，ABy2y=

1、因为P点在两条切线上，所以-2x1+y′y1=1，-

2x2+y′y2=

1、根据上式知点A，B的坐标满足方程-2x+y′y=

1、即切点弦AB所在直线的方程为2x-y′y+1=0，点M在直线

AB上，所以因为PM⊥AB，所以kPMkAB=-1，因此即方程

2x2+2y2+x=0[除去(0，0)]是两直线交点M的轨迹方程、评述

切点弦AB所在直线的方程是由认真分析动点P所满足的两个方程

得到的，不同于一般直接求直线方程的方法，这种方法值得重

视、例9一动圆过定点(c，0)且与定圆(x+c)2+y2=4a2(a＞0，c

＞0)相切，求动圆圆心的轨迹方程、解设F2(c，0)，F1(-c，

0)，即F2是已知定点，F1是已知定圆的圆心，动圆圆心P(x，

y)，由于F2与定圆F1有三种位置关系，所以分三种情况讨论、

(1)F2在定圆F1的内部，即c＜a时动圆P只能与定圆F1内切，

所(2)F2在定圆F1上，即c=a时动圆P与定圆相切于定点F2，

轨迹方程为直线y=0除点F2，F

1、(3)F2在定圆F1外，即c＞a时，若动圆P与定圆F1外

切，则有|PF1|-|PF2|=2a；若动圆P与定圆F1内切，则有|PF2|-

|PF1|=2a，所以应有评述本题关键是要搞清楚F2与定圆F1

的三种位置关系，应用数形结合的思想建立其轨迹方程、例10

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若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值和最小

值、分析如果把方程x2+y2-2x+4y=0变形为(x-

1)2+(y+2)2=5，可知方程式x-2y的值，就可看作是直线x-2y=t

与x轴交点P(t，0)的横坐标、由于直线x-2y=t的斜率是定值，

显然当直线x-2y=t与已知圆相切时，t有最大值或最小值，基于

上述分析，采用以下解法一、解法一将已知方程整理为(x-

1)2+(y+2)2=5，即知它表示圆心为O所以x-2y的最大值为10，

最小值为0、解法二因为x2+y2-2x+4y=0，所以(x-

1)2+(y+2)2=

5、当sin(2y的最大值为10；当sin(1时，x-2y的最小值为

0、评述本题的解法二是利用了圆的参数方程，将式子x-2y转

化为角α的函数，然后利用正弦、余弦函数的有界性来求出x-2