lnx的泰勒展开式

1

1,xxexeex

变形有法之放缩有度

一：引例

1

()ln1()0

2018

xfxaexfx

e

已知函数。证明：当a时

（年全国卷文）

，

1

1ln1xexxx考虑：，放缩

-1

1

()ln1ln1xx

e

fxaexex





证明如下：因为a

所以x-(x-1)-1=0

以上两题主要利用两个常见的放缩：

1xex（1）：

ln1xx（2）：

本讲座主要讲述四个方面：

1.对放缩法的认识

2.为什么要放缩？

3.怎么放缩？了解几种常见的放缩，从而解决不等式证明与恒成立问题。

4.对放缩法的进一步认识（泰勒展开式）。

一．指数、对数的放缩

常见指数放缩：

1

1-ln-1xx

x

常见对数放缩：

2

2018

1

3()

x

axx

fx

e



已知函例1：（年全数国卷）

1()0afxe（2）证明：当时，

212+1221+1+1+(x+2)x+1

()=0

xx

xxxx

axxexxexx

fxe

eeee





（）

证毕。

2

21

()(ln22,01)6

x

fxaxxaR

x



例：（年山东理）已知

2

1()0afx证明：（1）先证：时，恒成立

1()0afx再证：时，不恒成立

1()ln1(1)10afxxxxx时，

1(1)=10,()0afafx时，故不恒成立

1a综上得

3

()'()[1,2]

2

fxfxx求证：当a=1时，对任意恒成立

23

3125

[1,2]ln0

2

xxx

xxx

即证：当时，g(x)=恒成立

432

4

326

'(1)

xxxx

gx

x



常规方法：，思路简单，过程复杂繁琐。

2常规方法：对g(x)分解成两个函数的和，分别求最小值，相加即可。

ln1xx放缩考虑：法：

2323

31253125

ln(1)

22

xxxx

xxxxxx

g(x)=

23

3123

2xxx



，

23

3123

0

2xxx

先证32430xx2即证：6x（易证）

考虑不能同时取等，即可得原式得证。

2

1

()ln.()xfxexxxfxxe

e

例3：已知求证：

1

()ln0xgxexex

ex

即证：①

-0xxeexeex考虑：，即②

1

ln1,x

x



11

ln1,ln+0exx

exex

即③

由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。

()ln1

(1)()0

2ln10

x

fxaxx

fxa

e

xx

x









例4：已知

若恒成立，求的取值范围

（）证明：

3

ln1xx考虑解：放缩法，

2()ln,0,5)0fxxaxxxfxa若对任意都有（恒成立，求例：已知函数的范围。

（2）：利用lnxx-1可得：

ln1

xxee

xx



ln1++ln10

xxee

xxxx

xx





222()ln-1=+1+1fxxaxxxaxxxax（）（）

2221()ln-1=-10afxxaxxxxxx当时，（）（）

1(1)10afa当时，，不恒成立1a综上得

参考练习：

()ln220fxxxa

2

1：，，

若f(x)-ax+ax在x[1,e]恒成立，求a的取值范围

22.x1(1)ln10axxxa时，恒成立，求取值范围

1

3.0()ln(1)210

1

xfxaxxa

x





若时，恒成立，求取值范围

二．三角函数的放缩

常见三角函数的放缩：

sin1,cos1xx（1）

)sintan

2

xxx



（2）x(0,时，

()sinln(1)

0()0

fxxx

xfxax





例6：已知

当时，恒成立，求a的取值范围。

2a解：显然，证明如下：

2()=sinln(1)afxaxxxax当时，

(2)0xxaxax

2a当时，令h(x)=sinx+ln(x+1)-ax,则h(0)=0，h'(0)=2-a>0

()0hx则不恒成立2a综上可得

4.[0,]sincos0

2

xxxaxxa





4参考练

若时，f(x)=恒成立求的取

习：

值范围。

4

三．其它类型放缩:

ln

70,00x

x

xe



例：设若对任意都有恒成立。求取值范围。

ln

()x

x

fxe



解令：

，

,lnx

x

eexx

e

考虑：。得：

22ln11

()x

xxe

fxeexx

ee













2211

0()0

e

fx

ee









当，即时，恒成立。

11

ln

11lnln

0()=0,

e

e

ee

fe

e











当时，

1

e

综上可得

1

(201621()

1

()1x

fx

fxex

x



2例8：年四川理）设=ax-a-lnx.试确定a可能的值，使

>在时恒成立。

1

1

()-0(1,)xgxe

x

2解：原式ax-a-lnx在恒成立，求a的范围。

(1)0,()0ggx恒成立

1

'(1)0,

2

ga得

1

()0

2

agx即为恒成立的必要条件。接下来证充分性:

1

11

()-0

2

xagxe

x

2即证：时，ax-a-lnx恒成立

111

11111

()---

22

xxxgxeee

xxx

22a（x-1）-lnx（x-1）-lnx（2x-2）-lnx

1

1

=-1xex

x

-lnx

1

1

()-10xhxex

x

-lnx再证

22

1

2222

1111121(1)

'()-11=0

()1+(1)0()0

x

xxx

hxe

xxxxxxx

hxhhx









证明如下：

即在（，）为增函数，又易得

1

2

a综上可得

5

四．泰勒展开式

23

1..............

2!3!!

n

x

xxx

ex

n



21

1

ln(1).......(1).....

2

n

n

x

xxx

n



0000

1()()'()()()nfxfxfxxxfxxx时，为在处的切线方程。

2

000000

2()()'()()+''()()()nfxfxfxxxfxxxfxxx时，为在处的二次切线方程。

我们高中范围的放缩，大都是根据曲线与n次切线的关系进行的一个放缩。

五．练习参考答案

()ln220fxxxa

2

1：，，

若f(x)-ax+ax在x[1,e]恒成立，求a的取值范围

2

1

()ln220gxaxaxxx

（1）参考练习答案：

原式

1()0agx先证：当时，恒成立。如下：

222

1

()()ln22ln22-22gxaxxxxxxxxxxx

x

（1）

3

2

1(1)

3-3=0

x

xx

xx





1()0agx再证：当0<时，不恒成立。如下：

22()ln22(1)22(1)(1)gxaxaxxxaxaxxxxax

1

11a

a

因为0<，则

1,]e（则在区间

00

1

10xax

a

，即必存在，

000

()(1)(1)0gxxax则

1()0agx故0<时，不恒成立

1a综上可得

6

22.x1(1)ln10axxxa时，恒成立，求取值范围

（2）参考练习2答案：

2

2

()(1)ln1

0()(1)ln1ln111=0

gxaxxx

agxaxxxxxxx





令

当时，

222

11

0()(1)ln1(1)(1)1(1)

ax

agxaxxxaxxx

xx



当时，

000

11

0,(1,)10xxax

aa

则因在必存在，使，即为

2

0

00

0

1

0()(1)0()0

ax

agxxgx

x



当时，。即不恒成立

0a综上可得

1

3.0()ln(1)210

1

xfxaxxa

x





若时，恒成立，求取值范围

参考练习3答案：

1

ln1xx

x

利用放缩：1-

2111

1()ln(1)21ln(1)21210

1111

x

afxaxxxxxx

xxxx





当时，

111

1()ln(1)21(1)21(21)

1111

x

afxaxxaxxa

xxxx





当时，

0

0000

0

1

(0,)210()(21)0

21

x

a

xxafxxa

x







若时，，则

1()0

1()0

afx

afx





以上可知：时，恒成立。

时，不恒成立

1a综上可得

4.[0,]sincos0

2

xxxaxx

a





4

若时，f(x)=恒成立

求的取

参考练习：

值范围。

7

2

sincossin2cos2sin2cos=2cos(tan)0

a

xxaxxxxxxxxxxxx









（4）参考练

此时f(x)

习4解：

当时，

0恒成立。

2af(x)再证时，不恒0成立。如下：

2

()sincos2cos(cos)fxxxaxxxaxxaxx

a



000

222

2,1.,cos,cos0axxx

aaa

则0<则必存在使即

000

2

()(cos)0fxaxxfx

a

，即()0不恒成立

2a综上可得