33334

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、几类特殊行列式

1.上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）

2.以副对角线为标准的行列式

1

111211

2,12

21222,1

1,21,11,

1

12,1

(1)

2

12,11

000

00

00

000

000

0

00000

(1)

n

nn

nn

n

nnnnn

nnn

nnnnnn

nn

nnn

a

aaaa

aa

aaa

aaa

aa

aaaa

aaa

















3.分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

0

0

nnmnnm

nm

mnmmnm

ACA

AB

BCB







0

(1)

0

nmnnmn

mn

nm

mmnmmn

ACA

AB

BCB







4.范德蒙行列式（教材P18例12）

注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！

二、低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）

三、高阶行列式的计算

【五种解题方法】

1)利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2)利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3)利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数

余子式很容易计算；

4)递推法或数学归纳法；

5)升阶法（又称加边法）

【常见的化简行列式的方法】

1.利用行列式定义直接计算特殊行列式

例1（2001年考研题）

00010

00200

01999000

20000000

00002001

D

分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行

列式定义进行计算。

解法一：定义法

(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!nnnD

解法二：行列式性质法

利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,…,2,1行交换（这里n=2001），即

进行2000次换行以后，变成副对角行列式。

2001(20011)

2001120011

2

00002001

00010

00200

(1)(1)(1)2001!2001!

01999000

20000000

D





解法三：分块法

00010

00200

01999000

20000000

00002001

D

利用分块行列式的结果可以得到

2000(2000-1)

2

0001

0020

=2001=2001(-1)2000!=2001

0199900

2000000

D！

解法四：降阶定理展开

按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。

2.利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式

例2

1111

1111

1111

1111

a

a

D

b

b











分析：该行列式的特点是1很多，可以通过

12

rr和

34

rr来将行列式中的很多1

化成0.

解：

21

41

43

22

1

1100

011

0011

000

rr

rr

rr

aa

aaa

Dabab

bb

bbb

a

abab

b



















例3

3223

111111

3223

222222

3223

333333

3223

444444

aababb

aababb

D

aababb

aababb

，(0)

i

a

分析：该类行列式特点是每行a的次数递减，b的次数增加。特点与范德蒙行列

式相似，因此可以利用行列式的性质将D化成范德蒙行列式。

解：

23

111

111

23

222

222

3333

1234

23

333

333

23

444

444

3333

3

124

1234

1234

3333

1234

14

1()()()

1()()()

1()()()

1()()()

(,,,)

()j

i

ji

ij

bbb

aaa

bbb

aaa

Daaaa

bbb

aaa

bbb

aaa

b

bbb

aaaaV

aaaa

b

b

aaaa

aa









练习：（11-12年IT专业期末考试题）

若实数zyx,,各不相等，则矩阵



























222

111

zyx

zyxM的行列式M__________

3.利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

例4

000

000

000

000

n

ab

ab

D

ab

ba



分析：该行列式特点是a处于主对角线，b在a后的一个位置，最后一行中b是

第一个元素，a是最后一个元素。

解：按第一列展开：

111

1111

000

000

(1)(1)

000

0000

(1)(1)

n

n

nnnnnn

ab

b

ab

ab

Dab

ab

ab

a

aabbab









练习：（11-12年期中考试题）

xy

yx

x

yx

yx

D

n

000

000

0000

000

000















4.行（列）和相等的行列式

例5

n

abb

bab

D

bba



分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a，其余位置上都是b。可将第2,3，…，

n列加到第1列上。（类似题型：教材P12例8，P278(2)）

解：

1

11

110

[(1)][(1)]

110

[(1)]()

n

n

bbbb

abab

Danbanb

baab

anbab









5.箭头形（爪行）行列式

例6

0111

1200

1030

100

D

n



分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为

0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。

解：分别从第2,3,…,n列提出因子2,3，…，n，然后将第2,3,…,n列分别乘以-1，

再加到第1列上。

2

2

1111

111

0

23

23

1100

0100

1

!!!()

1010

0010

1001

0001

n

i

n

i

in

n

Dnnn

i













注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成

爪形行列式进行计算！

练习：

1)教材习题P28:8(6)

2)（11-12年期末考试题）

23(1)

2000

3000

1000

000

n

ann

a

a

A

na

na







3)（11-12年IT期末考试题）

nx

nx

x

x

aaaax

D

nn

n

000

0100

0020

0001

121

1





















例7

123

123

123

123

n

n

n

n

xaaa

axaa

Daaxa

aaax



分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。

解：

123

1122

1133

11

3

12

112233

1122

2

1

22

1122

00

00

00

1100

()()()

1010

1001

1

()()()

010

001

(

n

nn

n

nn

nn

n

in

i

iinn

nn

ii

xaaa

axxa

Daxxa

axxa

aa

xa

xaxaxaxa

xaxaxa

aa

a

xaxaxa

xaxaxa

xa





























1

1

)[1]

n

n

i

i

i

ii

a

xa













6.递推法或数学归纳法

该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例

题。利用同样的方法可以计算教材P278(4)。

7.升阶法

通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行

列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。

例8（教材P288(6)）

1

2

1+11

11+1

=

111+

n

n

a

a

D

a

,(0)

i

a

分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1，因此可

以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是

方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。为了使行列

式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,…,0.

1

11

-

3

2212

=1

1111

0

0

0

1111

1+11-100

1

=11+1=-100=...(1+)

111+-100

i

n

rr

nn

i

i

nn

aa

Daaaaa

a

aa

定理

例9（教材P276(4)）

2222

4444

1111

=

abcd

D

abcd

abcd

分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙

行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计

算。

解法一：

2

43

32

21

21

31

222222222

222

22222

1111

0

0()()()

0()()()

111

=()()()

()()()

100

()()()

()()()()(

rar

rar

rar

cc

cc

bacada

D

bbaccadda

bbaccadda

bacadabcd

bbaccadda

bacadabcbdb

bbaccabbaddab



























按第一

列展开

2222

)

()()()

()()()()

()()()()()()()

ba

cbdb

bacada

ccabbaddabba

abacadbcbdcdabcd











按第一

行展开

解法二：

2

5

3

2222

4444

3333

4

1111

()()()()()()()()()()

1

abcd

D

abcd

abcd

xaxbxcxdbacadac

x

x

abcd

d

x

b

x

bdc





3x的系数是D，因此D等于3x的系数的相反数，由此可计算得到结果。