999x

第25讲巧解小数与分数互化问题

巧点睛——方法和技巧

有限小数和无限循环小数都是小数。小数与分数可以互化。

巧指导一一例题精讲

A级冲刺名校•基础点睛

【例1】不做除法，确定下列各数哪些可以化成有限小数，哪些

可以化成纯循环小数，哪些可以化成混循环小数。化成有限小数的、

小数位数是多少位？化成循环小数的，不循环部分数字的个数及循环

部分的循环节是多少个数字？

(1)j_；(2)2；(3)A;(4)2_;(5)1(6)±.125

分析与解(1)3是最简分数.1250=2X54,因为分母的质因数分1250

解中含有2,5的质因数，所以可以化成有限小数.分母的质因数51250

的个数为4,比质因数2的个数1多，所以小数位数为4位.

(2)1是最简分数.13本身就是质数，它不含2,5的质因数，所以13

13

可以化为纯循环小数.因为9,99,999,…中能被分母13整除的最小数是六

位数999999,所以循环节有6个数字.

⑶兰是最简分数.28=22X7,分母既含有2,5的质因数，又含有28

2,5以外的质因数7,所以这个分数必可化为混循环小数.不循环部分数

字的个数等于2。因为9,99,999,…中能被整除的最小六位数999999,所

以循环节为6个数字。

(4)7是最简分数。220=22X5X11,这个分数必可化为循环220

小数，不循环部分数字的个数为2。因为9,99,999,…中能被11整除的

最小数为99,所以循环节为2个数字。

(5)上是最简分数。64=26,这个分数必可化为有限小数，小数

64

位数是6位。

(6)兰不是最简分数，先约分化为最简分数21=3X7,所

6421

以这个分数必可化成纯循环小数。因为9,99,999,…中能被21整除的

最小数是999999,所以循环节为6个数字。

做一做1指出下面的分数，哪些能化成有限小数，哪些能化成

纯循环小数，哪些能化成混循环小数，并分别写出有限小数的位数，

不循环部分数字的个数，循环节包含几个数字。

(1)兰；(2)%(3)11_L.(4)4JJ5)27

o

_

32126050541

【例2】写出两个最大分数，它们的分子都是1,并且化成小数以后分

别是：

(1)循环节为4个数字的纯循环小数；

(2)不循环部分有两个数字，循环部分的循环节是3个数字，是混

循环小数。

分析分子是固定的数1,要使分数最大，分母必须最小。

(1)为保证小数能化成循环节有4个数字的纯循环小数，其分母的

质因数分解中应该不含2,5,并且分母能整除9999,但不能整除9,99,

999o9999的质因数分解为9999=&x11X101。

3,32都整除9,3X11,32X11都整除99,101,32X101,UX101,

32X11X101都整除9999,而最小的一个是101,所以，分母应为101。所

求分数为'。

101

(1)0.123(2)0.347

（2）为保证分数能化成混循环小数，使不循环部分有两个数字，

循环节有3个数字，分母应当是2nX5nXp的形式（这里nNO,mNO,P不

含质因数2,5）。

为了使分母最小，而不循环部分有两个数字，我们应该取n=2,

m=0

o

为了使循环节有3个数字，p应该能整除999,但不整除9,99

O

999=33X27

因为3,32能整除9,33,3X37,33X37都能整除999,其中最小的一个

是33=27,所以取p=27

o

解因为分子是非曲直，为保证分数最大，应使分母最小。

（1）9999=33X11X101,因为分数化为循环节有4个数字的纯循

环小数，所以分母为101，所求分数为_1。

101

（2）因为分数化为混循环小数，不循环部分数字的个数为2,所

以分母为22Xp,p不含质因数2,5因为循环节有3今数字，而999=33

X37,所以p二33二27,所求分数为___I____=［。

22X27108

做一做2写出两个最大分数，它们的分子是1,并且化成小数分别

是：

（1）循环节有1个数字的纯循环小数；

（2）不循环部分有一个数字，循环节有2个数字的混循环小

数。

(1)0.123(2)0.347

【例3】将下列循环小数化成分数。

解(1)设X二0「123

1000

X

=123+0.12亨

做一做3把下面的循环小数化成分数。

(1)0.518(2)0.217§0S(3)0.312(4)10.295

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【例4］在下述循环小数的某个小数位上添上一个表示循环的小

圆点，使新产生的循环小数尽可能大，请写出这个新的循环小数。

(1)2.718281(2)2.718应

分析与解(1)要使新产生的循环小数尽可能大，必须使小数2.718

281…中已出现的数字的后面第一个数字尽可能大，因此这个数字应

取“8”。同样的道理，要使这个“8”的后面出现的数字也要尽可能

大。因此，我们不取2.718281,而取，2.718施8L

(2)根据同样的道理，应取2.718伐。。

小结分数化小数，做分子除以分母的除法即可。有限小数化分数

也容易，如0.75=75二3。循环小数化分数则要记住本节例题中

介绍的方法。

做一做4请在小数1.1001203上加两个循环点，使新产生的

(2)设y二0.347

10y=3.*2

1000x二123+x

999

X

=123

v

_123-41

999333

10y=3+0.苻

10y=3+g

99广竺

二竺

990495

循环小数尽可能小。

【例5】计算：0.o!+o.02+0.023+0.85

分析与解先将各循环小数化分数，再计算。

+O.02+0.02S+・・・+0.涕=1+12-1

+

23~2

+

89~8

909090go

=1+11+21_______p81

+

1+11+21+...+81

=

369

=4】

9"

小结上例巧用循环小数化分数的方法，使问题行到很快解决。

做一做5请将o.!++o.001的结果写成最简分数形式。

【例6】设n是一个自然数门是十进位中的一个数码，若W0.d2

・

810

5,试求n。

分析与解由循环小数化分数的法则得

0.d2$=彼5有n-d25则n=

810375

O

99981099999937

球是37与25的公倍数，所以325=37X25K,且显然只有K=l,因

此括=37X25,n=25X30二750。

做一做假定n是一个自然数，d是1〜9中的一个数码，已知

n=5,求n。

296

C级（选学）决胜总决赛-勇夺冠军

【例7]B是自然数，A是一个数字，如果£二0.3AT,那么B是

444

O除，推知

A=8,

B=387X4=172O

做一做7在下面的算式中，A,B是两个自然数，C,D,E,F代

表四个0〜9中的不同数字，那么(A+B)的最小值为

巧练习一一温故知新(二十五)

A级冲刺名校•基础点晴

1.写出所有分母是两位数，分子是1,且能化成有限小数的分

数。

2.指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小

数？哪些能化成混循环小数？有限小数的位数、不循环部分数字的个

数、循环节最小位数各是几？

35117534

__，__，__，__，__，___

2

3.写出最大的分数，它的分子是1,并且它所化成的小数是：

(1)循环节里只有两位数字的纯循环小数；

(2)不循环部分有两位数字，循环节里最少的倍数是2的混循

环小数。

4.把下列循环小数化成分数：

0.00T5,510.123建弓，0.点4S,3.59

5.请将0.T+0.01+0.00t的结果写成最简分数形式。

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6.请在小数1.10010203的某位数字上加上循环点，使新产生的循

环小数尽可能小。

7.写出所有分子是1,分母是两位数，而且只能化成不循环部分有

一位数字，循环节最小位数是2的混循环小数的分数来。

8.下表中，第一组是“共社”，第二组是“产会”，那么第100组

是什么文字?

共产党好共党好共r••

•

社会主义好社会主义好••

•

9.在混合循环小数2.71828T的某一位上再添一个表示循环的圆点，

使新产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。

10.一个最简真分数竺，化成小数后，如果从小

数点后第一位起7

连续若干位的数字之和等于2004,求M?

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11.循环小数0.打和小数0.432相乘，积也是一个循环小数，它

的小数点后第2006位是o

12.已知A=0.3138是循环小数，将它写为最简分数时，其中分母

最小的那一个的分数是多少(用最简分数表示)？

13.B是自然数,A是一个数字，如果二,那么B二。

444---------

14.在下面的算式中，A,B是两个自然数，C,D,E,F代表四个

0~9中的不同数字，那么(A+B)的最小值是o

二

巧总结

本节我的收获是：____________________________________

不足之处有:

解因为艾的循环节是三位数字，所以A是一位数。因为

444

B=1**4X9B,0.3A7=3/17

4449994999

所以？B二E,BWXS因为B是自然数，所以3折能被9整

49