直角三角形的边角关系

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直角三角形的边角关系讲义

第1节从梯子的倾斜程度谈起

本节内容：

正切的定义坡度的定义及表示(难点)正弦、余弦的定义三角函数的定义（重

点）

1、正切的定义

在确定,那么Ａ的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA。

即tanA=

b

a

A







的邻边

的对边A

例1如图,△ABC是等腰直角三角形，求tanC.

例2如图，已知在Rt△ABC中,∠C=90°，CＤ⊥AB，AD=８,BD=4，求taｎA的值。

2、坡度的定义及表示（难点

我们通常把坡面的铅直高度ｈ和水平宽度ｌ的比叫做坡

度(或坡比）。坡度常用字母ｉ表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：

l

h

atan

注意：

（1）坡度一般写成1:ｍ的形式(比例的前项为1,后项可

以是小数）;

(2)若坡角为a，坡度为a

l

h

itan,坡度越大,则ａ角越

大，坡面越陡。

例3如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为６m,坝高为3.2ｍ,为了提高水坝

的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背

水坡的坡度由原来的i=1:２变成i′=1:2.5，（有关数据在图上已注明）.•求加高后的坝底

ＨD的长为多少？

3、正弦、余弦的定义

在Rt中,锐角∠Ａ的对边与斜边

的比叫做∠Ａ的正弦,记作sinA。

即siｎＡ

D

C

B

A

--

--

=

c

a





斜边

的对边A

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。

即cosA=

c

b





斜边

的邻边A

例4

在△AＢC中,∠C=９0°,BC=１,AＣ=2,求sinA、ｓｉｎB、cosA、coｓB的值。通过计算你

有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点)

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。

直角三角形中,除直角外,共５个元素,3条边和2个角，它们之间存在如下关系:

(１)三边之间关系：222cba；

（2）锐角之间关系:∠A+∠Ｂ=９0°;

(３)边角之间关系：sinA=

c

a

,cｏｓＡ=

c

b

,tanA=

b

a

。（其中∠Ａ的对边为a，∠Ｂ的对边为

ｂ,∠C的对边为c)

除指教外只要知道其中2个元素(至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=１0cm,CＤ=6cｍ斜立在墙上,其中ＢE＝6ｃm,DE=２cm，

你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业:

１、∠C＝９０°,点Ｄ在BC上，BD=6，AＤ＝BC，ｃoｓ

∠ＡＤC=

5

3

，求CD的长。

2、P是a的边OＡ上一点，且Ｐ点的坐标为（3,4）,求sina、tａna的值。

--

--

3、在△ABC中,Ｄ是ＡB的中点，DC⊥AC,且ｔan∠BＣD＝

3

1

,求taｎA的值。

4、在Rt△AＢＣ中，∠C=９0°,ｔanA＝

12

5

，周长为３０,求△ABC的面积。

５、（2008·浙江中考)在Rｔ△ABC中，CD是斜边ＡB上的中线,已知CＤ=2,AC＝3，则sｉn

Ｂ的值是多少？

第2节30°,45°,６0°角的三角函数值

本节内容:

30°,45°,60°角的三角函数值(重点）

1、3０°，45°，6０°角的三角函数值（重点)

根据正弦、余弦和正切的定义,可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

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--

例1求下列各式的值。

（1）





60tan

30sin60sin

；

(2）45sin22460tan460tan2。

本节作业：

1、求下列各式的值。

（１)45tan30tan330sin2;(2）30cos60tan45cos2。

(３)6ｔaｎ２３０°-

3

sin6０°＋2taｎ4５°

(４)022)30tan45(sin)60cos(160sin260sin

60tan2

45tan

ooooo

o

o







2、已知a为锐角,且ｔａna=5,求

aa

aa

sincos2

cos3sin





的值。

3、△AＢC表示光华中学的一块三角形

空地，为美化校园环境,准备在空地

--

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内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为ａ元，则购买这种草皮至少花费多少元？

４、(2008·成都中考)245cos的值等于____＿＿__。

5、(２008·义乌中考）计算3845cos260sin3。

６、(2009深圳)（6分）计算:2202(3)(3.14)8sin45

7、(２010深圳)（

1

３

）－２-２ｓｉn45º+(π-３．14)0＋

1

2

错误!+(－1）３．

第3节三角函数的有关计算

本节内容:

利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点)锐角三角函数计算的实际应用(难点）

1、利用计算器求任意锐角的三角函数值(重点）

计算三角函数的具体步骤大体分两种情形:

（1)先按三角函数键,再按数字键；

(2）或先按数字键，再按三角函数键。

利用计算器还可以求角度的大小。

例1利用计算器求下列锐角的三角函数值。

（1)35sin;

（2）85tan；

（3)''25'3872sin;

(4）'1547cos。

２、锐角三角函数计算的实际应用(难点）

仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角。

俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角成为俯角。

例2小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形,其上的一个字看作点E，过点E的该矩

形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=１．41米，视线ＡC恰与水平线平行,视

线AB与ＡC的夹角为2５°,视线AE与AC的夹角为20°，求AＣ与AE的长(精确到0.

１米）。

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典型例题:

例１用计算器求下列三角函数值。(精确到0．0０1）

（1）35sin

(2)42cos

(3）75tan

例2已知下列锐角的三角函数值,利用计算器求锐角。（精确到1’）

(1）5276.0sin

（2）5276.0cos

(3)5276.0tan

例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡ＡＢ长22m,

坡角∠BAＤ=68°，为了防止山体滑坡，保障安全,学校决定对土坡进行改造，经地质人员

勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡。

（1）求改造前坡顶与地面的距离BＥ的长；（精确到0.1m)

（2）为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问

BF至少是多少？(精确到0．1m）

(,4751.268tan,3746.068cos,9272.068sin,7660.050sin

,6428.050cos1918.150tan)

例４如图,矩形ＡBＣD是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据,计算车位所占

街道的宽度ＥF。（参考数据：,84.040tan,77.0cos,64.040sin结果精确到0.1m)

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例5要求45tan的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=

ＢC=

a

，则∠ABＣ=45°,所以145tan

a

a

BC

AC

。你能否在此基础上,求出3022tan的

值?

例6(２００9·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎

街的墙面上垂直挂了一长为３０米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得

条幅顶端Ａ的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公

楼水平距离多远的地方进行测量?(精确到整数米）

例7某轮船自西向东航行,在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上,前进8千米到达Ｂ，

测得该岛在轮船的北偏东３０°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近?

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第4节船有触礁的危险吗

本节内容:

方向角的定义解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用(难点）

1、方向角的定义

方向角:方向角是以观察点为中心(方向角的顶点）,以正北或正南为始边，旋转到观察目标

所形成的锐角,方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东

15°、南偏东20°、北偏西60°。

其中南偏东４5°习惯上又叫东南方向，同样北偏西４5°又叫西北方向。如OE的方向

角为南偏东45°,OG的方向角为南偏西45°,那么,G、Ｅ可以说在O的哪个方向呢？由方向

角的定义可知，Ｇ在Ｏ的西南方向，E在Ｏ的东南方向。

例１某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来

临前,我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的

报警，于是指令位于Ａ的正南方向180海里的救援队

Ｂ立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东

34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到

C处还有1２小时，如果救援船每小时行驶2０海里,

试问能否在台风来到之前赶到Ｃ处对其施救?（参考

数

据:

--

--

3

2

34tan,

5

3

34sin,263tan,

10

9

63sin）

２、解直角三角形（重点）

在直角三角形中,由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。

在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，∠Ａ、∠B、∠Ｃ所对的边分别为cba、、。

（1）三边之间关系:222cba

（2）锐角之间关系:∠A+∠B=90°

（3）边角之间关系：

Bb

a

AB

c

b

AB

c

a

A

tan

1

tan,sincos,cossin

（4）面积公式：)(

2

1

2

1

为斜边上的高hchabS

ABC





在直角三角形中,除直角的五个量中,若已知其中的两个量(其中至少有一条边）,就可

以求出另外三个未知量,有如下四种类型：

Rｔ△ＡBＣ中，∠C＝９０°

已知选择的边角关系

斜边和一直

角边

ac,

由

c

a

Asin,求∠A;∠Ｂ=９0°－∠A，22acb

两直角边

ba,

由

b

a

Atan，求∠A；∠Ｂ=9０°-∠A,22bac

斜边和一锐

角

Ac,

∠Ｂ=９0°-∠A;Acasin;Acbcos

一直角边和

一锐角

Aa,

∠B=90°-∠A；

A

a

b

tan

，

A

a

c

sin



注意:

（1）在解直角三角形中,正确选择关系式是关键：

①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；

②若求角:一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数;

③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：

一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式;

二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。

（2）对于含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平

分线长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长、面积等等。对于这类问题,我们常用

的解题方法是：将非基本量转化为基本量,或由基本量间关系通过列方程(组）,然后

解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。

（3）在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决,而作

高时,常从非特殊角的顶点作高;对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的

方法,构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。

例２某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间

的距离BC=４m。

(１)求滑梯ＡＢ的长；(结果精确到0.１m）

（2)若规定滑梯的倾斜角（∠ＡBＣ)不超过45°属于安全范围,请通过计算说明这架滑梯的

倾斜角是否符合要求？

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3、解直角三角形的实际应用（难点)

在解决实际问题时,解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题

转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角

三角形中的元素（边、角)之间的关系,这样就可运用解直角三角形的方法了。

一般有以下几个步骤：

1．审题:认真分析题意,根据题目中的已知条件，画出它的平面图,弄清已知和未知;

2.明确题目中的一些名词、术语的汉语,如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；

3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算;若不是直角三角形,应大胆尝试添加辅助

线,把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；

4.确定合适的边角关系，细心推理计算。

例３台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强

的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向２２０千米的B处有一台风中心,其

中心的最大风力为12级,每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以１5

千米/时的速度沿北偏东３０°方向往C移动，且台风中

心风力不变，若城市风力达到或超过4级,则称为受台风

影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理

由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时

间有多长？

典型例题：

例1在△ABC中，已知ＡB＝１，AＣ=2,∠ＡBC=45°,

求BC的长。

例2如

图，甲、乙两

只捕捞船同时

从A港出海捕

鱼。甲船以每

小时１52

千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航

行２小时到达Ｃ处,此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速)沿北偏东7５°

的方向追赶,结果两船在B处相遇。

（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间?

（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

--

--

例3某年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航

行,在A处测得航标C在北偏东６0°防西哪个上。前进1０0m到达B处，又测得航标Ｃ在

北偏东4５°方向上（如图),在以航标C为圆心,120m为半

径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进，是否有被浅

滩阻碍的危险？（

73.13

)

第5节测量物体的高度

本节内容:

测量底部可以到达的物体的高度(重点)测量底部不可

以到达的物体的高度（难点）

１、测量底部可以到达的物体的高度（重点)

简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：

（1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时

度盘的顶线PQ在水平位置。

（2）转动转盘，使度盘的直径对准目标Ｍ,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是

测点相对于被测点的仰角或俯角。

说明：

(1)所谓“底部可以到达“,就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的底部

之间的距离。

（2)测量步骤如图(测量物体MN的高度):

①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠ＭＣＥ=α；

②量出测点A到物体底部N的水平距离ＡＮ=l;

③量出测倾器的高度AC=

a

（即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离)。

(3）物体MN的高度＝altan。

例1升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24ｍ处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时,测得

该同学视线的仰角为３0°,若双眼离地面1．5m,则旗杆有多高?(结果精确到0.1m)

2、测量底部不可以到达的物体的高度(难点)

(1)所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。

（2)测量步骤（如图。测量物体ＭN的高度）:

①在测点Ａ处安置测倾器,测得此时M的仰角∠ＭCＥ＝α;

--

--

②在测点Ａ与物体之间的B处拟制测倾器（Ａ、Ｂ与N在一条直线上，且A、B之间的

距离可以直接测得),测得此时M的仰角∠ＭDE＝β;

③量出测倾器的高度AC=BＤ=

a

,以及测点A、Ｂ之间的距离ＡＢ＝b。

（3)物体高度MＮ=ＭＥ+EN=)

tantan

tantan

(a

b











米。

提示:测量底部不可以到达的物体的高度,求解时常要解两个直角三角形。

例２：如图，从山顶Ａ处看到地面C点的俯角为６0°,看到地面Ｄ点的俯角为45°，测得

CD＝

3150

米,求山高AB。(精确到0.1米,

3

≈1.732)

典型例题：

例1如图，两建筑物的水平距离为３６m，从A点测得D点的俯角



为36°，测得C点的

俯角为45°，求这两座建筑物的高度。（sin36°≈0.588,ｃos３６°≈０.４1２,tan36°

≈0.７２３,结果保留2位小数)

例2如图,河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦

的草地,在数学活动课上，老师要求测量河对岸一点B

到公路的距离，请你设计一个测量方案。

例３如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与

地面的夹角∠ＢPC的度数为30°,窗户的一部分在教

室地面所形成的影长ＰE为3．5m,窗户的高度AF为

--

--

2.5ｍ，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离ＡD。(结果精确到0.1m)

测试题

一、选择题

1.等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（）

Ａ．４ﻩﻩB.

23

ﻩﻩＣ．2ﻩＤ．22

２．如图1,在菱形ABＣＤ中,∠ABC=6０°，AC＝4，则BD长为(）

Ａ.

83

ﻩB.

43

C.

23

ﻩﻩD．8

（1)（２)

(3)

3．在△ABC中,∠Ｃ=90°，下列式子一定能成立的是(）

A．sinacBﻩﻩﻩC．tancaBﻩＤ.tanabA

４．△ABC中，∠Ａ,∠Ｂ均为锐角,且有2|tan3|2sin30BA（），则△ABC是(）

A.直角(不等腰)三角形ﻩﻩB．等腰直角三角形

C.等腰(不等边)三角形ﻩﻩD．等边三角形

5．已知tan1，那么

2sincos

2sincos









的值等于（)

A．

1

3

ﻩB.

1

2

ﻩﻩC．1ﻩﻩD．

1

6

6.如图2,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工．从AC上的一

点B，取∠ABD=１45°，BD=50０米，∠D=５5°,要使A,Ｃ,E成一直线，那么开挖点E

离点D的距离是()

A．５00ｓin5５°米ﻩB.500ｃos5５°米Ｃ．５00tan55°米ﻩﻩD．５00tａn３5°米

--

--

７.如图3，在矩形AＢCD中，ＤE⊥AＣ,垂足为E,设∠ＡDE＝



,且ｃoｓ



=

3

5

,AＢ=4,则

ＡＤ的长为（）

Ａ.３ﻩﻩB.

16

3

ﻩﻩﻩC．

20

3

Ｄ.

16

5

８．如图4，已知正方形ＡBCＤ的边长为２,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在CＢ

的延长线上的D′处，那么ｔan∠BAＤ′等于（）

A．1ﻩﻩﻩB．2ﻩC．

2

2

ﻩﻩD．3

(４)（５)(６)

二、填空题（每小题3分,共24分）

9．在△ABＣ中，∠C＝90°,

3

sin

2

A,则cosB的值为．

1０．化简2cos2cos1．

11.如图5，∠ＤBＣ=30°,AＢ=ＤＢ，利用此图求tan75°=．

1２．如图6，P是∠的边ＯＡ上一点,且P点的坐标为（3，4),则cos=．

1３．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进1０m,则他比原来的位置升高了m．

14.如图7,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条

“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米），却踩伤了花草.

（7)（8)（9)

15．如图8所示,是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离ｈ＝6.5米，自动扶梯的

倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v=0.５米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为

___＿_秒．

16.如图9，一人乘雪撬沿坡比1∶

3

的斜坡笔直滑下,滑下的距离s(米）与时间ｔ（秒)间的

关系为2102stt．若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为.

17、如图,已知Rt△ＡBＣ中,AC=3,ＢC=4，过直角顶点C作ＣA

1

⊥AB,垂足为A１，再过A

1

作A

1

Ｃ1⊥ＢC，垂足为C

1

,过Ｃ１作C

1

Ａ２⊥AＢ，垂足为A

2

，再过Ａ２作A

2

C

2

⊥BC，垂足

为C

2

，…,这样一直做下去，得到了一组线段CA

1

,A１Ｃ

1

,

12

CA,…，则

--

--

CA

1

=,



55

54

CA

AC

三、解答题（本大题共５2分）

1８．(1)





sin60

cos60tan45－

·tan30°;(2）（

2

3

tａn３0°)2００７·(22sin45°）20０6

19.(本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高ＡB=CD＝３0m，两楼间的距离

AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为3０°时，求甲

楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1m，2≈1．４1,

3

≈1.７３）

２0.（本题１2分）为了测量一棵大树的高度AB，在离树2５米的C处,用高1.４米的测角

仪CD测得树的顶端B的仰角



=21°,求树ＡＢ的高.(用２1°角的三角函数值表示即

可)

２１．如图，在观测点Ｅ测得小山上铁塔顶Ａ的仰角为６0°，铁塔底部B的仰角为45°。

已知塔高ＡB=２0m，观察点E到地面的距离EF＝３５cm，求小山BＤ的高.

2２．如图,PQ表示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设

计路线图．在点P测得点Q在它的南偏东３0°的方向，

测得另一点A在它的南偏东6０°的方向，取PQ上另

一点Ｂ，在点Ｂ测得点A在它的南偏东7５°的方向．以

点Ａ为圆心,5０0m为半径的圆形区域为某居民区,已知

PB=4０0m,通过计算回答:如果不改变修筑方向，高速公

路是否会穿过居民区?

23.随着科技的发展,机器人的发现早已不是童话，机器人是否可以让我们随心所欲呢？在坐

标平面上,根据指令［s，



]（ｓ≥0，0°＜



＜180°），机器人能完成下列动作：先原

地顺时针旋转角度



，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.

（1）填空:如图,若机器人在直角坐标系的原点,且面对ｙ轴的正方向,现要使其移动到点A

（2,2)，则给机器人发出的指令应是．

(２）机器人在完成上述指令后,发现在点P（6,0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线

--

--

运动,已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同,若忽略机器人原地旋转所需的时间，请

你给机器人发一个指令，使它能尽快截住小球，并求出截住小球时的位置.(角度精确到度,

参考数据sin49°≈0.75，coｓ37°≈0.80，tａn3７°≈0.75）

２4、(2009中山）如图所示,A、Ｂ两城市相距10０km.现计划在这两座城市间修筑一条高

速公路（即线段ＡB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西

45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问：

计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?(

732.13

,414.12）

２5.（20０9黄石）如图９,山顶建有一座铁塔,塔高ＣD=3０m,某人在点

Ａ处测得塔底C的仰角为2０°,塔顶Ｄ的仰角为23°，求此人距CＤ

的水平距离AＢ。(siｎ２0°≈0.3４2，ｃos20°≈０．9４0，tan2０°

≈0.364,Sin23°≈0.391,ｃoｓ2３°≈0.921,tan23°≈0.424)

-－

30°

AB

F

E

P

45°