数字组合

关于数字的排列组合题解法举例

例1：由数字组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数5,4,3,2,1,0

的个数共有多少个？

解法1：（直接法）：分别用作十万位的排列数，共有种，所以其5,4,3,2,15

5

5A

中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个．3005

2

1

5

5

A

解法2：（间接法）：取个数字排列有，而作为十万位的排列有，5,,1,06

6

A

05

5

A

所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有(个)．300)(

2

1

5

5

6

6

AA

小结：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或

间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑

能否用间接法来解．

(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六

位数个数一样多，即各占全部六位数的一半。

例2：用这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少5,4,3,2,1

个？

解法1：分类计算．

将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有个，另一类是4作个位数，2

4

A

也有个．因此符合条件的偶数共有个．2

4

A242

4

2

4

AA

解法2：分步计算．

先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有种排法，根据分步计数原1

2

A2

4

A

理，三位偶数应有个．242

4

1

2

AA

小结：本题是带有附加条件的排列问题，可分类，也可分步。

例3： 用共六个数字，组成无重复数字的自然数，543210、、、、、

(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数？3

(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数？3

解：(1)就个位用还是用分成两类，个位用，其它两位从中任取两0

42、

0

4321、、、

数排列，共有(个)，个位用或，再确定首位，最后确定十位，共有122

4

A24

(个)，所有位偶数的总数为：(个)．324423443212

(2)从中取出和为的倍数的三个数，分别有下列取法：、543210、、、、、3)210(

、、、、、、，前四组中有)510()420()540()321()531()432()543(

，后四组中没有，用它们排成三位数，如果用前组，共有(个)，如果00

416242

2

A

用后四组，共有(个)，所有被整除的三位数的总数为(个)．2443

3

A

3402416

小结：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，300

对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进行分类．一个自然数能被0

42、

整除的条件是所有数字之和是的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排33

列，但要注意就用与不用数字进行分类．0

例4：用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③

个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是

2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、

6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得

解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

个来排列，故有个；3

9

A

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2

8

1

8

1

4

AAA

（个）．

∴没有重复数字的四位偶数有

个．229617925042

8

1

8

1

4

3

9

AAAA

解法2：当个位数上排“0”时，同解一有个；当个位数上排2、4、6、8中之一3

9

A

时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列

数得：个)(2

8

3

9

1

4

AAA

∴没有重复数字的四位偶数有

个．22961792504)(2

8

3

9

1

4

3

9

AAAA

解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选

一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有

个2

8

1

5

1

5

AAA

干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括

0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有

个2

8

1

4

1

4

AAA

∴没有重复数字的四位偶数有

个．22962

8

1

4

1

4

2

8

1

5

1

5

AAAAAA

解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．

没有重复数字的四位数有个．3

9

4

10

AA

其中四位奇数有个)(2

8

3

9

1

5

AAA

∴没有重复数字的四位偶数有

2

8

3

9

3

9

3

9

2

8

3

9

1

5

3

9

4

10

5510)(AAAAAAAAA

个2

8

3

9

54AA2

8

2

8

536AA2

8

41A

2296

小结：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解

法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用。