大学一年级

学期高等数学期末考试试卷答案

•计算题(本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分)，

所以，有x2axb=B1x2Dx12=[BDx22DxBD.

比较上式两端的系数，有1^BD,a=2D,b=B，D•所以，得b=1•

1•求极限limO+cosx)—/

x屮

sin3x

解:

lim—

x)01co2x4

23x

x

k

2•设x>0时，fx与是等价无穷小，.ftdt与Axk

等价无穷小，求常数k与A•

2

0

解:

3X

由于当x>0时，.ftdt与Axk

等价无穷小，所以

0

3X

ftdt

lim-一l=1•而

xaAxk

所以，lim1^3=1•因此，k-1,A-1

xT6Akx6

x2axb

3•如果不定积分2厂dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件.

x11x2

解:

x2

亠ax亠b

将-化为部分分式，有

x121x2

x2axb

x121x2

BCxD

厂，

1+x2

axb

因此不定积分一

2dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数

(x+1%+x2)

x2axb

即--

x121x2x1

DB1x2Dx12

十----------=---------------------

彳+2f、.2

1x

(x+1Y(1+x2

5

2

5•计算定积分min、1,

0

5

2d

所以，min：1,

0

1

x-2^dx二1dx

0

解：

j

2—x

=x—2

1

x::1

1_x_2

2：：

x_3

x3

一3日

5•设曲线C的极坐标方程为r=asin，求曲线C的全长.

3

解：

3日日

曲线r=asin——周的定义域为0，即0_二_3二.因此曲线C的全长为

33

3二________________3二

s「r「r「d”.

00

OC甘OA日OH

a2sina2sincold^

333

3兀

asi

0

二.（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），

6.求岀函数fx=lim-sinx

2n的所有间断点，并指岀这些间断点的类型.

12x

解:

sin二x

sin二x

x

企1+(2xf

X1

2

1

x=-

2

1•

x二

2

x

1

2

11

因此x

1

与x

2

是函数

22

fx的间断点.

limfx=lim0=0,

1-1—

xx—

22

1

limfx二limsin二x=T，因此x是函数

1'1■2

x_2x二2

fx的第一类可

去型间断点.

x_2}dx•

213

xdxx-2dx二

28

limfx二limsin「：x=1，limfx二lim0=0，因此1-1…1■1亠

xx

x>2Xr

间断点.

匕

求极限lim

7b

解：

7•设■是函数fx=arcsinx在区间0,bI上使用Lagrange

（拉格朗日）中值定理中的

中值”

fX二arcsixT在区间

0,bl上应用Lagrange中值定理，知存在

-三［0,b，使得

1

arcsinb-arcsin0b-0•

所以，

2=1-

b

---------i

丿

因此,

令t=arcsinb,则有

所以，lim1•

7b<3

8•设f(x)=feyfdy，求ff(xJdx•

00

解:

1二

在方程fX二ey2^dy中，令x=1，得

0

1二0

f(1)=Jey(2_ydy=Jey(2_ydy=0•

00

1丄

再在方程fX二ey2^dy两端对X求导，得「x--e1"

0

111

因此，fxdx=xfx:一xfxdx二一xfxdx

000

11

22

二xe1dx=e,xedx=

00

(1/=e

‘一―e

J2J,

9•研究方程ex=ax2a0在区间-：：，•：：内实根的个数.

解:

X=^是

函数fX

类可去型

设函数fx二ax234e°「1,fx=2axe公「ax2e△二ax2-xe*.

令fi=o，得函数fx的驻点Xi=0,X2=2.

由于a0，所以

limfx二limax2e^「1二：：，

X)二x..

因此，得函数fx的性态

2

e2

⑴若4ae，-1.0，即a时，函数fx=axe」-1在-：:,0、0,2、2,•二内各

4

有一个零点，即方程ex

二ax2

在-：:，亠「］内有3个实根.

2

2.2

⑵若4ae-1=0，即a时，函数fx=axe-1在—■-,0、0,•::内各有一个零

4

2

e22

⑶若4ae^-1■■-0，即a时，函数fxi=axe*-1在:0有一个零点，即方程ex=ax

4

在1.7儿•：：内有1个实根.

10•设函数fx可导，且满足

f：；：-x=xfx?-1，f0=0.

试求函数fx的极值.

解：

在方程f•-x=xfx-1中令t--x，得「t--t「-1T，即

fX=-XfI.-'X厂1

f'(x)+xf"(—X)=X…

在万程组丿中消去f(—x),得

-xf'(x)+f'(-X)=-X

limfx=limax2e^

X):：x.

2

x

-1=alim

x

-1=alim

exx》::ex

2x亠alimj「1.

i化e

x2

点，即方程e=ax在-：：，•：：内有2个实根.

2

fX二尸

1+x

积分，注意f0[=0，得fx-f0二.1dt•即

0

1+t

t+t56781

2

fx

2

dt=xIn1x-arctanx•

01+t22

5

応1

Jef0krctanxdx=—，f(1)=0•

02

丄2XX由fX

21+x2

得函数fx的驻点Xi=0,X2--1•而f”Xi戶

12x-x2

k•所以,

(1+x2)

f0=10,f-1：

0•

24

三•应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），

11•求曲线y二'.x的一条切线，使得该曲线与切线I及直线X=0和*=2所围成的图形绕x轴旋转

的旋转体的体积为最小.

解:

1

由y，可知曲线y在t,.t处的切线方程为

2磁

11

y-..tx-t，或yx，t

2Jt2Jt

因此所求旋转体的体积为

所以，f0戶0是函数fx极小值；f一1=一1ln2是函数fx极大值.

设切点坐标为t,t,

所以，理

dt

--8

r2=0•得驻点t二

4.3t2

JI士*，舍去t=_¥•由于

-33

d2V

dt2

方程为y

]16

43t2

2

0，因而函数V在t处达到极小值，而且也是最小值•因此所求切线

V3

12•设函数fx在闭区间

0,11上连续，在开区间0,1内可导，且

解:

因为fx在闭区间0,11上连续,所以由积分中值定理，知存在ne|0,-丨，使得

1风」

21

—efarctan二一.再由f1=0，得

兀2

ef

『Jarctan口=少=efC)arctan1.

4

作函数gx］=efxarctanx，则函数在区间：，1!0,11上连续，在区间，1内可导.所以由Rolle

中值定理，存在匚三厂，1］二［0,1，使得g「=0.而

g"(x)=efWf"(x)aretax^e)

所以存在匚三厂，1j二°1，使得

f(it)

effarctan=0.

由于ef

=汇0，所以farctan一r=0，即f1--------

1+U(1+©2)arctan©

证明：至少存在一点0,

-112arctan

ef

xarctanxdx=

0

—efarctan

31一

由于Jef$brctanxdx=

0

所以,