同弧所对的圆周角相等

弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）

【学习目标】

1.了解圆心角、圆周角的概念；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有

关问题；

3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要

有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中

的应用．

【要点梳理】

要点一、弧、弦、圆心角的关系

1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心

角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弧也相等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；

(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

要点二、圆周角

1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且

两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直

径．

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相

交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

4.圆内接四边形：

（1）定义:圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边

形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个

外角等于它相邻内角的对角）．

5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关

联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各

组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。

【典型例题】

类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用

1.如图，在⊙O中，

，求∠A的度数.

【答案与解析】

.

【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心

角相等，所对的圆周角相等，所对的

弦也相等．

举一反三：

【变式】如图所示，

中弦AB=CD，求证：AD=BC.

【答案】

证法1：∵AB=CD，∴

(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等)

∴

∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)

证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，

∵AB=CD，∴

(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)

∴

∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)

类型二、圆周角定理及应用

2.观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?

【答案与解析】

(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；

(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；

(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以

∠3、∠4、∠BAD是圆周角．

(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是

圆周角；

(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆

周角.

【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．

3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上

半圆，设∠POA=x°，

∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.

【答案与解析】

解法1：如图所示，

∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°

∴∠POB=180°-x°=(180-x)°

又

解法2：如图所示，连结AQ，

则

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠AQB=90°

【总结升华】考查圆周角定理的应用.

4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与

CD的大小有什么关系？

为什么？

【答案与解析】

BD=CD.

理由是：如图，连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB，∴BD=CD.

【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证

明D是BC的中点，只要连结AD，

证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，

的度数为60°，

的度数为100°，则∠AEC等于（）

A.60°B.100°C.80°D.130°

【答案】C.

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半