函数的概念

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函数的概念

教学目标：

1、正确理解函数的定义；了解构成函数的要素

2、会求函数的定义域和值域；掌握判定两个函数是否相等的方法；

3、培养学生运用变化的观点来观察事物之间的关系。

教学重点：函数概念的理解。

教学难点：如何求函数的定义域、函数概念的本质及符号ｙ﹦ｆ（ｘ）的理解。

教学过程：

(一)知识要点：

函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定

义域是灵魂．

函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足

对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到

深化，更应在有关反函数问题中正确运用．

1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A

中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从

集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫

做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做

函数的值域.

2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函

数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义

域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同

时，这两个函数才是同一个函数.

3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A

中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、

B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.

4.映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都

有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。

5．分段函数：g（x）=











;01

,01

x

x

。

6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间

变量，它的取值范围是g(x)的值域。

7.函数的三种表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的

解析表达式，简称解析式.

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

8.求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

2

（2）已知

()fx

求

[()]fgx

或已知

[()]fgx

求

()fx

：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）

()fx

满足某个等式，这个等式除

()fx

外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组

法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

（2）例题选讲：

例1.给出对应法则：

21yx

，如果x是输入值，y是输出值，那么你能解决下面的

输入输出的问题吗？输入这些

1x=1x=2x=3x

值，那么输出____________如果

输出是

5y=1y=0y

，那么输入为_______________

例2.已知函数，求

的值

3

例3.下列各式是否表示

yfx

（1）

521xyxR

（2）

3(0)xyx

（3）

21,1,1xyx

（4）

30xy

例4.试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=2x，g（x）=3

3x；

（2）f（x）=

x

x||

，g（x）=











;01

,01

x

x

（3）f（x）=12

12





n

nx，g（x）=（12nx）2

n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.

例5.求函数的解析式

（1）已知f(3x+1)=4x+3,求f(x)的解析式.

（2）已知

2

2

1

)

1

(

x

x

x

xf

,求

)(xf

的解析式.

（3）设

)(xf

是一元二次函数,

)(2)(xfxgx

,且

212)()1(xxgxgx

,

求

)(xf

与

)(xg

例6.设函数

)(xf

是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式

x

x

fxf4)

1

(2)(3

,求)(xf的解析式.

练习巩固：

1.设f：AB是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|xR,yR},f：(x,y)(x+y,xy),则A

中(1,2)的象是，B中(1,2)的原象是

2.若从集合P到集合Q={a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的

不同映射共有个.

3.已知函数

2

91

(3)log

2

x

fx





，则(5)f的值是

4.设函数















),1(log

)1,(2

)(

81

xx

x

xf

x

，则满足

4

1

)(xf的

x

值是_________

5.已知f(x+1)=2x+1，f（x）=___________.

4

6.如果f［f（x）］=2x－1，求f(x)解析式。

7、设函数F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是2x的反比例函数，又

F(2)=F(3)=19,求F（x)的解析式。

8.已知集合A={1,2,3,4},B={1,1,2},

(1)集合A到B的映射共有多少个？

(2)若集合B中的每一个元素都有原象，这样的映射共有多少个？

（3）若集合B中元素2必须要有原象，这样的映射共有多少个？